复旦大学 2001 量子真题

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　　 复旦大学 2001 年招收攻读硕士研究生入学考试试题

　　 1. 质量为 $m$ 的粒子在一维对称势场 $V(x) = Ax^2$ 中运动，请用量子化条件求粒子能量 $E$ 的可能取值。(20 分)

　　 2. 质量为 $m$ 的粒子处在一维谐振子势 $V_0(x) = \frac{\alpha^4 x^2}{2m}$ 的基态，波函数函数为 $$ varphi_0(x) = \left(\frac{\alpha}{\pi}\right)^{1/4} e^{-\frac{\alpha x^2}{2}}~,$$ 若势能 $V_0(x)$ 突然变为 $V_1(x) = \frac{\beta^4 x^2}{2m}$，问在某后任意时刻，粒子处在基态的几率。若势能是非常缓慢地从 $V_0(x)$ 变为 $V_1(x)$，结果如何？(20 分)

　　 3. 分析、讨论或求解粒子在势阱 $$ V(x) = \begin{cases} \infty, & x < 0; \\\\ \\frac{1}{2} m \omega^2 x^2, & x \geq 0 \end{cases}~,$$ 中的能量。(20 分) 中运动的能级（20 分）

　　 4. 设体系处在
( w = c_1 I_1 + c_2 I_2 ) 状态，求

　　 (1)
( I_1 ) 的可能测值及平均值；

　　 (2)
( I_2 ) 的可能测值及相应几率；

　　 (3)
( I_1 ) 的可能测值及相应几率。(20 分)

　　 5. 对于一维谐振子，取基态试探波函数形状为 $( e^{-\lambda x^2} )$，$(\lambda)$ 为参数。用变分法来 估定基态能量和波函数，并与严格解比较。(20 分)