复旦大学 2004 硕士研究生入学考试试题

                     

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   (1)质量为 $m$ 的粒子处在宽度为 $a$ 的一维无限深势阱中,设在时刻 $t=0$ 粒子的状态为 $\Phi(0) = a_1 \varphi_1 + a_2 \varphi_2 + a_3 \varphi_3 + a_4 \varphi_4$,$\varphi_i (i=1,2,3,4)$ 是能量为 $E_i$ 时一维无限深势阱的归一化本征函数,$a_1, a_2, a_3, a_4$ 是已知的常数,求:

  1. 在时刻 $t=0$ 时,测量能量,结果小于 $3 \pi^2 \hbar^2 / ma^2$ 的几率
  2. 在时刻 $t=0$ 时,能量 $E$ 和 $E^2$ 的平均值
  3. 时刻为 $t$ 时的波函数 $\Phi(t)$
  4. 如果在 $\Phi$ 态测量能量,所得结果为 $8 \pi^2 \hbar^2 / ma^2$,问测量后粒子处在何种状态?(30 分)

   (2) 设氢原子处在 $R_{21} Y_{1,-1}$ 态,求:

  1. 势能 $V = -e^2 / r$ 的平均值
  2. $\mathbf{L}$ 为轨道角动量,求符号 $\langle \mathbf{L}, \mathbf{L}^2, \mathbf{L}_z \rangle$ 的平均值 $\langle L, L^2, L_z^2 \rangle$

   已知 $R_{21} = \frac{1}{2 \sqrt{6 a_0}} r e^{-r / 2a_0}, Y_{1,-1} = \sqrt{\frac{3}{8 \pi}} \sin \theta e^{-i \varphi}, a_0$ 为波尔半径(30 分)

   (3) 一质量为 $m$ 的粒子在三维势场 $V = \frac{1}{2} k (x^2 + y^2 + z^2 + \lambda xy)$ 中运动,式中 $k$ 是常数,$\lambda$ 为小量

   a) 用微扰论求基态能量至二级修正 (30 分) b) 用简并微扰论求相对于第一激发态的能级至一级修正值 (30 分)

   (4) 两个自旋为 $1/2$ 的粒子组成的体系由哈密顿量 $$H = A (S_{1z} + S_{2z}) + B \vec{S_1}~, \cdot \vec{S_2}$$ 描述,其中 $\vec{S_1} \vec{S_2}$~, 分别是两个粒子的自旋,$S_{1z}, S_{2z}$ 是它们的 $z$ 分量,$A, B$ 为常数,求该哈密顿量的所有能级 (35 分)

   (5) 考虑两个具有同样频率 $\omega_0$ 的振子,哈密顿量为 $$ H_1 = h \omega_0 a_1^\dagger a_1, \quad H_2 = h \omega_0 a_2^\dagger a_2~, $$ 记 $H_1, H_2$ 相应于本征值 $n_1 h \omega_0$ 和 $n_2 h \omega_0$ 的本征态为 $|n_1, n_2 \rangle$,零点能可略去。在两个振子有相互作用后,其哈密顿量为 $$ H = h \omega_0 a_1^\dagger a_1 + h \omega_0 a_2^\dagger a_2 + g a_1^\dagger a_2 + g a_2^\dagger a_1 = \begin{pmatrix} a_1^\dagger & a_2^\dagger \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h \omega_0 & g \\\\ g & h \omega_0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_1 \ a_2 \end{pmatrix}~, $$ $g$ 为耦合常数。因为有相互作用,故 $|n_1, n_2 \rangle$ 不是 $H$ 的本征态 $g$ 为耦合常数。因为有相互作用,故 $|n_1, n_2 \rangle$ 不是 $H$ 的本征态


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