复旦大学 2004 量子真题

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　　 （1）质量为 $m$ 的粒子处在宽度为 $a$ 的一维无限深势阱中，设在时刻 $t=0$ 粒子的状态为 $\mathrm{\Phi }(0)=a_1{\phi }_1+a_2{\phi }_2+a_3{\phi }_3+a_4{\phi }_4$，${\phi }_i(i=1,2,3,4)$ 是能量为 $E_i$ 时一维无限深势阱的归一化本征函数，$a_1,a_2,a_3,a_4$ 是已知的常数，求：

1. 在时刻 $t=0$ 时，测量能量，结果小于 $3{\pi }^2{\hslash }^2/m{a}^2$ 的几率
2. 在时刻 $t=0$ 时，能量 $E$ 和 $E^2$ 的平均值
3. 时刻为 $t$ 时的波函数 $\mathrm{\Phi }(t)$
4. 如果在 $\mathrm{\Phi }$ 态测量能量，所得结果为 $8{\pi }^2{\hslash }^2/m{a}^2$，问测量后粒子处在何种状态？（30 分）

　　 （2） 设氢原子处在 $R_{21}{Y}_{1,-1}$ 态，求：

1. 势能 $V=-e^2/r$ 的平均值
2. $\mathbf{L}$ 为轨道角动量，求符号 $⟨\mathbf{L},{\mathbf{L}}^2,{\mathbf{L}}_z⟩$ 的平均值 $⟨L,L^2,L_z^2⟩$

　　 已知 $R_{21}=\frac{1}{2\sqrt{6a_0}}r{e}^{-r/2a_0},Y_{1,-1}=\sqrt{\frac{3}{8\pi }}\sin \theta e^{-i\phi },a_0$ 为波尔半径（30 分）

　　 (3) 一质量为 $m$ 的粒子在三维势场 $V=\frac{1}{2}k(x^2+y^2+z^2+\lambda xy)$ 中运动，式中 $k$ 是常数，$\lambda$ 为小量

　　 a) 用微扰论求基态能量至二级修正 (30 分) b) 用简并微扰论求相对于第一激发态的能级至一级修正值 (30 分)

　　 (4) 两个自旋为 $1/2$ 的粒子组成的体系由哈密顿量 $$H=A(S_{1z}+S_{2z})+B\overrightarrow{S_1},\cdot \overrightarrow{S_2}$$ 描述，其中 $\overrightarrow{S_1}\overrightarrow{S_2}$~, 分别是两个粒子的自旋，$S_{1z},S_{2z}$ 是它们的 $z$ 分量，$A,B$ 为常数，求该哈密顿量的所有能级 (35 分)

　　 (5) 考虑两个具有同样频率 ${\omega }_0$ 的振子，哈密顿量为 $$H_1=h{\omega }_0{a}_1^{†}{a}_1,H_2=h{\omega }_0{a}_2^{†}{a}_2,$$ 记 $H_1,H_2$ 相应于本征值 $n_{1}h{\omega }_0$ 和 $n_{2}h{\omega }_0$ 的本征态为 $|n_1,n_2⟩$，零点能可略去。在两个振子有相互作用后，其哈密顿量为 $$H=h{\omega }_0{a}_1^{†}{a}_1+h{\omega }_0{a}_2^{†}{a}_2+g{a}_1^{†}{a}_2+g{a}_2^{†}{a}_1=\left(\begin{array}{cc}{a}_1^{†}& a_2^{†}\end{array}\right)\left(\begin{array}{cc}h{\omega }_0& g\\ \\ g& h{\omega }_0\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{a}_1{a}_2\end{array}\right),$$ $g$ 为耦合常数。因为有相互作用，故 $|n_1,n_2⟩$ 不是 $H$ 的本征态 $g$ 为耦合常数。因为有相互作用，故 $|n_1,n_2⟩$ 不是 $H$ 的本征态

• [(a)] 求 $H$ 的本征值 (提示：可考虑矩阵 $\left(\begin{array}{ccc}h{\omega }_0& gg& h{\omega }_0\end{array}\right)$ 对角化)
• [(b)] 设体系在 $t=0$ 时，处在 $|n_1=1,n_2=0⟩$ 态，求 $t>0$ 时体系的态失服
• [(c)] 设在 $t=0$ 时，体系出现在 $|n_1=0,n_2=1⟩$ 态的几率 (25 分)