虚误差函数

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预备知识　误差函数

　　 虚误差函数的定义为

\begin{matrix} (1) & erfi (x) = - i \erf (i x) = \frac{1}{\sqrt{π}} \int_{- x}^{x} e^{t^{2}} d t = \frac{2}{\sqrt{π}} \int_{0}^{x} e^{t^{2}} d t . \end{matrix}

　　推导如下，使用换元法 $t = i τ$ 有

\begin{matrix} (2) & erfi (x) = \frac{- i}{\sqrt{π}} \int_{- i x}^{i x} e^{t^{2}} d t = \frac{- i}{\sqrt{π}} \int_{- x}^{x} e^{- (i τ)^{2}} d (i τ) = \frac{1}{\sqrt{π}} \int_{- x}^{x} e^{τ^{2}} d τ . \end{matrix}

同理可得

\begin{matrix} (3) & erfi (i x) = i \erf (x), \end{matrix}

　　其导函数为

\begin{matrix} (4) & \frac{d}{d x} erfi (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} e^{x^{2}}, \end{matrix}

所以

\begin{matrix} (5) & \int e^{x^{2}} d x = \frac{\sqrt{π}}{2} erfi (x) + C . \end{matrix}

　　与误差函数的级数展开同理， $erfi (x)$ 的级数展开为

\begin{matrix} (6) & erfi (x) = \frac{2}{\sqrt{π}} \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{x^{2 n + 1}}{(2 n + 1) n!} = \frac{2}{\sqrt{π}} (x + \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{10} + \frac{x^{7}}{42} + \frac{x^{9}}{216} \dots) . \end{matrix}

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