华东师范大学 2014 年 考研 量子力学

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1. 简答题(每小题 6 分，共 42 分)

1. 什么是相速度?什么是群速度?对于有质量的微观粒子，其德布罗意波的相速度与群速度星何种关系?
2. 自由粒子的波函数是否一定是平面波?为什么?
3. 一维束缚定态是否存在简并?为什么?
4. 在什么条件下，厄密算符 F(不显含时间)的平均值不随时间变化?
5. 设 $\vec{A}, \vec{B}$ 与泡利算符对应，证明：$\left( \vec{\sigma} \cdot \vec{A} \right) \left( \vec{\sigma} \cdot \vec{B} \right) = \vec{A} \cdot \vec{B} + i \vec{\sigma} \cdot \left( \vec{A} \times \vec{B} \right)$
6. 判断下面各符号中，哪些是算符?哪些是数?哪些是矢量? $|\psi\rangle\langle\phi| : \langle\phi|\psi\rangle : \langle\phi|\hat{F}|\phi\rangle : \hat{F}|\alpha\rangle : \lambda |\alpha\rangle\langle\beta|\omega\rangle : \lambda \langle\alpha|\hat{A}|\psi\rangle\langle\mu|\gamma\rangle$
7. 斯塔克(Stark)效应是怎么回事?从量子力学的角度解释其产生的根源。

2. (本题 16 分)

　　 考虑一维体系 $\hat H = \frac{\dot p^2}{2m} + V(x),\ V(x) = V_0 x^\lambda,\ V_0 > 0,\ \lambda = 2, 4, 6, \ldots$。设其本征函数为 $\psi_n$。

1. 证明动量在态 $\psi_n$ 中的平均值为零；
2. 求在态 $\psi_n$ 中动能平均值与势能平均值之间的关系。

3. (本题 16 分)

　　 自旋为 $\frac{1}{2}$，质量为 $m$ 的粒子处于 $[0,a]$ 之间的无限深方势阱中，若 $t = 0$ 时粒子状态为： $$\psi(x,s_z,0) = C \left( \varphi_1(x) \chi_{1/2}(s_z) - 2 \varphi_2(x) \chi_{-1/2}(s_z) + \sqrt{2} \varphi_2(x) \chi_{1/2}(s_z) \right)~$$ 其中 $\varphi_n(x)$ 是一维无限深势阱的第 $n$ 个本征态，$\chi_{1/2}(s_z)$ 分别为自旋向上和向下的状态。

1. 求任意 t 时刻粒子的波函数以及能量的期望值。
2. 测量粒子自旋在 z 方向的可能取值和相应概率。

4. (本题 16 分)

　　 对一个三维谐振子，势为 $V(x, y, z) = \frac{1}{2}m \left( \omega_x^2 x^2 + \omega_y^2 y^2 + \omega_z^2 z^2 \right)$，设 $\omega_x : \omega_y : \omega_z = 1 : 1 : 2$，求能级分布和相应的简并度。

5. (本题 20 分)

　　 粒子分别处于下列外场中，试确定哪些力学量（动量、能量、角动量，或它们的分量）是守恒量：

1. 自由粒子；
2. 粒子被限制在 $XV$ 平面上；
3. 中心力场 $V(r)$；
4. 交变场 $V(r) = A \cos \omega t$，其中 $A$ 为常量。

6. (本题 20 分)

　　 $a^{\dagger}, a$ 是谐振子的升降算符，满足对易关系 $[a, a^{\dagger}] = 1$，$\hat{N} = a^{\dagger}a$ 为粒子数算符。

1. 证明：$[a, \hat{N}] = a$, $[a^{\dagger}, \hat{N}] = -a^{\dagger}$, $[a, (a^{\dagger})^n] = n(a^{\dagger})^{n-1}$;
2. 证明：$[a, e^{\lambda a^{\dagger}}] = \lambda e^{\lambda a^{\dagger}}$, $[a, \cos\left(\lambda a^{\dagger}\right) ] = -\lambda \sin\left(\lambda a^{\dagger}\right) $;
3. 计算：$e^{\lambda a^{\dagger}} a e^{-\lambda a^{\dagger}} = ?$, $e^{\lambda \hat{N}} a e^{-\lambda \hat{N}} = ?$

7. (本题 20 分)

　　 已知体系的哈密顿量在某力学量表象中表示为： $$H = H_0 + H' = \frac{A}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} + \epsilon \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}~$$ 其中 $A, \epsilon > 0$, $\epsilon \ll A$。

1. 求出哈密顿量 $H_0$ 表象下的形式；
2. 将 $H'$ 视作微扰项，求出该体系能级的近似值（到二级近似）；
3. 求出该体系能级的精确值，这个与 2) 中的结果是何种关系？