华东师范大学 2014 年 考研 量子力学

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1. 简答题(每小题 6 分，共 42 分)

1. 什么是相速度?什么是群速度?对于有质量的微观粒子，其德布罗意波的相速度与群速度星何种关系?
2. 自由粒子的波函数是否一定是平面波?为什么?
3. 一维束缚定态是否存在简并?为什么?
4. 在什么条件下，厄密算符 F(不显含时间)的平均值不随时间变化?
5. 设 $\overrightarrow{A},\overrightarrow{B}$ 与泡利算符对应，证明：$(\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{A})(\overrightarrow{\sigma }\cdot \overrightarrow{B})=\overrightarrow{A}\cdot \overrightarrow{B}+i\overrightarrow{\sigma }\cdot (\overrightarrow{A}\times \overrightarrow{B})$
6. 判断下面各符号中，哪些是算符?哪些是数?哪些是矢量? $|\psi ⟩⟨\varphi |:⟨\varphi |\psi ⟩:⟨\varphi |\hat{F}|\varphi ⟩:\hat{F}|\alpha ⟩:\lambda |\alpha ⟩⟨\beta |\omega ⟩:\lambda ⟨\alpha |\hat{A}|\psi ⟩⟨\mu |\gamma ⟩$
7. 斯塔克(Stark)效应是怎么回事?从量子力学的角度解释其产生的根源。

2. (本题 16 分)

　　 考虑一维体系 $\hat{H}=\frac{{\dot{p}}^2}{2m}+V(x),V(x)=V_0{x}^{\lambda },V_0>0,\lambda =2,4,6,\dots$。设其本征函数为 ${\psi }_n$。

1. 证明动量在态 ${\psi }_n$ 中的平均值为零；
2. 求在态 ${\psi }_n$ 中动能平均值与势能平均值之间的关系。

3. (本题 16 分)

　　 自旋为 $\frac{1}{2}$，质量为 $m$ 的粒子处于 $[0,a]$ 之间的无限深方势阱中，若 $t=0$ 时粒子状态为： $$\psi (x,s_z,0)=C({\phi }_1(x){\chi }_{1/2}(s_z)-2{\phi }_2(x){\chi }_{-1/2}(s_z)+\sqrt{2}{\phi }_2(x){\chi }_{1/2}(s_z))$$ 其中 ${\phi }_n(x)$ 是一维无限深势阱的第 $n$ 个本征态，${\chi }_{1/2}(s_z)$ 分别为自旋向上和向下的状态。

1. 求任意 t 时刻粒子的波函数以及能量的期望值。
2. 测量粒子自旋在 z 方向的可能取值和相应概率。

4. (本题 16 分)

　　 对一个三维谐振子，势为 $V(x,y,z)=\frac{1}{2}m({\omega }_x^2{x}^2+{\omega }_y^2{y}^2+{\omega }_z^2{z}^2)$，设 ${\omega }_x:{\omega }_y:{\omega }_z=1:1:2$，求能级分布和相应的简并度。

5. (本题 20 分)

　　 粒子分别处于下列外场中，试确定哪些力学量（动量、能量、角动量，或它们的分量）是守恒量：

1. 自由粒子；
2. 粒子被限制在 $XV$ 平面上；
3. 中心力场 $V(r)$；
4. 交变场 $V(r)=A\cos \omega t$，其中 $A$ 为常量。

6. (本题 20 分)

　　 $a^{†},a$ 是谐振子的升降算符，满足对易关系 $[a,a^{†}]=1$，$\hat{N}=a^{†}a$ 为粒子数算符。

1. 证明：$[a,\hat{N}]=a$, $[a^{†},\hat{N}]=-a^{†}$, $[a,(a^{†}{)}^n]=n(a^{†}{)}^{n-1}$;
2. 证明：$[a,e^{\lambda a^{†}}]=\lambda e^{\lambda a^{†}}$, $[a,\cos \left(\lambda a^{†}\right)]=-\lambda \sin \left(\lambda a^{†}\right)$;
3. 计算：$e^{\lambda a^{†}}a{e}^{-\lambda a^{†}}=?$, $e^{\lambda \hat{N}}a{e}^{-\lambda \hat{N}}=?$

7. (本题 20 分)

　　 已知体系的哈密顿量在某力学量表象中表示为： $$H=H_0+H^{\prime }=\frac{A}{\sqrt{2}}\left(\begin{array}{ccc}0& 1& 0\\ 1& 0& 1\\ 0& 1& 0\end{array}\right)+ϵ\left(\begin{array}{ccc}0& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$ 其中 $A,ϵ>0$, $ϵ\ll A$。

1. 求出哈密顿量 $H_0$ 表象下的形式；
2. 将 $H^{\prime }$ 视作微扰项，求出该体系能级的近似值（到二级近似）；
3. 求出该体系能级的精确值，这个与 2) 中的结果是何种关系？