华东师范大学 2013 年 考研 量子力学

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1. 简答题(每小题 7 分，共 56 分)

1. 为什么波函数 $\psi$，必定是复函数?
2. 试叙述量子力学基本假设一测量共设的要点。
3. $\psi(x,t)$ 和 $e^{i\theta}\psi(\vec x,t)$ 是否代表同一个量子态？并说明为什么，其 $\phi(\vec z)$ 是实函数。
4. 力学量之间的对易关系是否具有传递性?即:如果 $A$ 与 $B$ 对易，$B$ 与 $C$ 对易成立，是否必有 $A$ 与 $C$ 对易成立?试用举例来证明你的结论。
5. 两个有限深方势阱深度相同，但宽度不同，与窄的势阱哪一个束缚态的个数多?为什么? 现有三种系统，其能级与其量子数 $n$，的关系分别是正比于 $n^2,n^{-2}$ 以及与 $n$ 满足线性关系，请举例指出它们对应的分别可能是什么系统?
6. 什么是反常 Zeeman 效应?产生该效应的根源是什么?
7. 证明 $\text{exp}(i\theta \vec{\sigma}) = \cos \theta + i \sin \theta (\vec{n} \cdot \vec{\sigma})$，其中 $\vec{\sigma} = (\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z)$ 表示 Pauli 矩阵，$\vec{n}$ 为单位向量。

2. (本题 16 分)

　　 已知某微观体系的力学量 $A$ 有两个归一化本征态 $\psi_1$ 和 $\psi_2$，相应的本征值为 $a_1$ 和 $a_2$。力学量 $B$ 也有两个归一化本征态 $\phi_1$ 和 $\phi_2$，相应的本征值为 $b_1$ 和 $b_2$。两种本征态之间存在如下关系： $$\psi_1 = \frac{3\phi_1 + 4i\phi_2}{5}, \quad \psi_2 = \frac{4\phi_1 - 3i\phi_2}{5}~$$ 当对某个态测量 $A$ 后得到 $a_1$，然后再测量 $B$，接着再测量 $A$，试求第二次测量 $A$ 仍然得到 $a_1$ 的几率。

3. (本题 18 分)

　　 一根长为 $l$ 的无质量的绳子一端固定，另一端系质点 $m$。在重力作用下，质点在整直平面内摆动

1. 写出质点运动的量子体系哈密顿量
2. 在小角近似下求系统的能级。

4.【本题 20 分)

　　 一个一维谐振子圆频率为 $\omega$，处在相干态 $|z\rangle$ 上,其中 $|z\rangle$ 是该谐振子湮灭算符的本征态, $$a |z\rangle = z |z\rangle~$$ $z$ 是复数，试求出该谐振子的以下两个量

1. 平均能量
2. 能量均方差

5. (本题 20 分)

　　 设有一电子对置于沿 $x$ 方向的均匀恒定磁场 $B$ 中，自旋系统的哈密顿量为 $$H = \frac{eB}{mc} S_z = \frac{eB}{mc} \left( s_{1z} + s_{2z} \right) = \frac{eB\hbar}{2mc} \left( \sigma_{1z} + \sigma_{2z} \right)~$$。设初始时刻该电子对的两个电子自旋均沿 $z$ 轴方向，但方向相反，且处于自旋三重态，求此后任意时刻该电子对的自旋态 $|\psi(t)\rangle=?$

6. (本题 20 分)

　　 两个粒子被束缚在一个边长为 $a>b>c$ 的长方体盒子中运动，粒子间的相互作用势能为 $V(\vec{r}_1, \vec{r}_2) = A\delta(\vec{r}_1 - \vec{r}_2)$ 可以作为微扰，其中 $\vec{r}_1$,和 $\vec{r}_2$ 分别为两个粒子的位置，$A$ 为实常数。分别就以下两种情形求体系的最低能量态的能量，要求准确至 $A$ 的一次方，

1. 两个粒子为自旋为零的全同玻色子:
2. 两个粒子为自旋为 $1/2$ 的全同费米子，且这两个粒子的自旋平行(即总自旋为 1)。