华东师范大学 2011 年 考研 量子力学

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1. 什么是光电效应?其实验现象与经典理论存在什么矛盾?爱因斯坦是如何解释这一效应的?
2. 简述波函数的统计解释。
3. 自由粒子的波函数是否一定是平面波?为什么?
4. 量子力学中的物理力学量用什么算符表示?力学量算符在自身表象中的矩 阵有何特点?
5. 频率为 $\omega$ 的一维线性谐振子的零点能是多少?零点能的存在意味着什么? 第三激发态能量是多少?
6. 什么是能级简并?简并度又是什么?举个例子说明。
7. 考虑一个一维运动问题，哈密顿算量是 $H_0 = \frac{p^2}{2m} + V(x)$ 时，已知 $H_0$ 的本征值为 $E_n^{(0)}$，$n = 1, 2, \dots$。现考虑哈密顿算量为 $H = H_0 + \frac{\lambda}{m} p$，其中 $\lambda$ 为给定参数，求 $H$ 的本征值。
8. 中心力场中，力学量完全集可否取为($p_xp_yp_z$,)?为什么通常不这样取?
9. 质量为 $m$ 的粒子在一维均匀力场 $f(x) = -F$ ($F > 0$) 中运动。若 $\rho(p, t)$ 为其在动量空间的几率密度，试证明： $$\frac{\partial \rho(p, t)}{\partial t} = F \frac{\partial \rho(p, t)}{\partial p}~$$
10. 有两个力学量算符 $\dot A$, $\dot B$ 在某个表象下的表示为 $$A = \begin{pmatrix}3 & \sqrt{2} \\\sqrt{2} & 2\end{pmatrix} a, \quad B = \begin{pmatrix}4 & -\sqrt{2} \\-\sqrt{2} & 5\end{pmatrix} b,~$$ 其中 $a, b$ 为两个实参量。
    1.证明这两个力学量互相对易；
    2.求出它们的共同本征态；
    3.求能够利用表象变换将该两个力学量算符对角化的变换矩阵。
    
11. 由两个自旋为 $1/2$ 的非全同粒子组成的体系，置于 $z$ 轴方向的均匀外磁场中，体系的哈密顿量可写成 $\hat{H} = a\sigma_1 + b\sigma_2 + c\vec{\sigma_1} \cdot \vec{\sigma_2}$, 设 $e \ll |a|, |b|, |a \pm b|$ 视 $\hat{H}_0 = a\sigma_1 + b\sigma_2$,和 $\hat{H}' = c\vec{\sigma_1} \cdot \vec{\sigma_2}$
    1)试用定态微扰论求 $\hat{H}$ 的能级近似值(准确到二级微扰);
    2)解出 $\hat{H}'$ 的能级精确值，并与微扰论的结果进行比较