华东师范大学 2011 年 考研 量子力学

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1. 什么是光电效应?其实验现象与经典理论存在什么矛盾?爱因斯坦是如何解释这一效应的?
2. 简述波函数的统计解释。
3. 自由粒子的波函数是否一定是平面波?为什么?
4. 量子力学中的物理力学量用什么算符表示?力学量算符在自身表象中的矩 阵有何特点?
5. 频率为 $\omega$ 的一维线性谐振子的零点能是多少?零点能的存在意味着什么? 第三激发态能量是多少?
6. 什么是能级简并?简并度又是什么?举个例子说明。
7. 考虑一个一维运动问题，哈密顿算量是 $H_0=\frac{p^2}{2m}+V(x)$ 时，已知 $H_0$ 的本征值为 $E_n^{(0)}$，$n=1,2,\dots$。现考虑哈密顿算量为 $H=H_0+\frac{\lambda }{m}p$，其中 $\lambda$ 为给定参数，求 $H$ 的本征值。
8. 中心力场中，力学量完全集可否取为($p_x{p}_y{p}_z$,)?为什么通常不这样取?
9. 质量为 $m$ 的粒子在一维均匀力场 $f(x)=-F$ ($F>0$) 中运动。若 $\rho (p,t)$ 为其在动量空间的几率密度，试证明： $$\frac{\partial \rho (p,t)}{\partial t}=F\frac{\partial \rho (p,t)}{\partial p}$$
10. 有两个力学量算符 $\dot{A}$, $\dot{B}$ 在某个表象下的表示为 $$A=\left(\begin{array}{cc}3& \sqrt{2}\\ \sqrt{2}& 2\end{array}\right)a,B=\left(\begin{array}{cc}4& -\sqrt{2}\\ -\sqrt{2}& 5\end{array}\right)b,$$ 其中 $a,b$ 为两个实参量。
    1.证明这两个力学量互相对易；
    2.求出它们的共同本征态；
    3.求能够利用表象变换将该两个力学量算符对角化的变换矩阵。
    
11. 由两个自旋为 $1/2$ 的非全同粒子组成的体系，置于 $z$ 轴方向的均匀外磁场中，体系的哈密顿量可写成 $\hat{H}=a{\sigma }_1+b{\sigma }_2+c\overrightarrow{{\sigma }_1}\cdot \overrightarrow{{\sigma }_2}$, 设 $e\ll |a|,|b|,|a\pm b|$ 视 ${\hat{H}}_0=a{\sigma }_1+b{\sigma }_2$,和 ${\hat{H}}^{\prime }=c\overrightarrow{{\sigma }_1}\cdot \overrightarrow{{\sigma }_2}$
    1)试用定态微扰论求 $\hat{H}$ 的能级近似值(准确到二级微扰);
    2)解出 ${\hat{H}}^{\prime }$ 的能级精确值，并与微扰论的结果进行比较