华东师范大学 2008 年 考研 量子力学

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1. 简答题(每题 5 分，共 50 分)

1. 写出德布罗意(de Broglie)关系，并简述其物理含义，
2. 何为正常塞曼(2ccman)效应?其物理本质是什么?
3. 求对易关系[$x,xp$],其中 $x$ 为位置算特，$p$ 为其共轭动量，
4. 如果粒子处在其动量的本征态上，对其位置进行观测将获得什么样的观测结果?
5. 可观测力学量对应的算符有什么特点?
6. 假定一体系的哈密顿量 $H$ 不含时，且力学量 $A$ 不显含时。问 $A$ 与 $H$ 满足什么关系时 $A$ 为体系的守恒量?
7. 简述氢原子电子基态波函数的特点?
8. 力学量 $A$ 与 $B$ 有究备共同本征画数的必要条件是什么?
9. 粒子处在态 $e^{i\phi(x)}\varphi_(x)$(其中 $\phi$ 和 $\varphi$ 为实函数)上，在 $x_t$,到 $x_t+dx$ 之间观测到粒子的几率为什么?
10. 举出一个说明光(或电磁辐射)具有粒子性的实验，简单给出理由。

2. 计算题(每题 20 分，共 100 分)

1. 对一个体系，哈密顿量 $\hat{H}$ 具有两个本征值 $E_1$ 和 $E_2$，对应的本征函数是 $\varphi_1$ 和 $\varphi_2$。有一与 $\hat{H}$ 不对易的物理量算符 $\hat{A}$，具有两个本征值 $a_1$ 和 $a_2$，相应的本征函数为 $$u_1 = \frac{\varphi_1 + \varphi_2}{\sqrt{2}}, \quad u_2 = \frac{\varphi_1 - \varphi_2}{\sqrt{2}}~$$ 假设 $t=0$ 时体系初态处于 $u_1$ 态，求算符 $\hat{A}$ 在 $t$ 时刻的平均值。（本题 20 分）
2. 已知在能量表象下某体系的零级哈密顿量及做扰算符为： $$H_0 = \begin{pmatrix}E_1^0 & 0 & 0 \\0 & E_2^0 & 0 \\0 & 0 & E_3^0\end{pmatrix}, \quad H' = \begin{pmatrix}0 & b & 0 \\b & 0 & 0 \\0 & 0 & c\end{pmatrix}~$$ 这里所有的参数均为实数，且 $|b, c| \ll \min_{i \neq j} |E_i^0 - E_j^0|, 1)$ 用微扰论求该体系的能级修正（到二级近似）及相应的本征态的一极修正。（每问 10 分，本题共 20 分）
3. 某电荷为 $-e$ 的粒子在三维无限大空间运动，其哈密顿算符由下式描述： $$\hat{H} = \frac{1}{2\mu} \left( \hat{\mathbf{p}} + \frac{e}{c} \overline{\mathbf{A}} \right)^2~$$ 其中 $c$ 为光速，$\overline{\mathbf{A}}$ 为均匀磁场 $\mathbf{B}$ 的矢量势，规定取为 $\overline{\mathbf{A}} = (-yB, 0, 0)$
   (1) 该粒子的三个方向的正则动量是否守恒？其轨道角动量及其分量是否守恒？
   (2) 该粒子在 $y$ 方向运动的能量本征值有何特点？（每问 10 分，本题共 20 分）