华东师范大学 2008 年 考研 量子力学

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1. 简答题(每题 5 分，共 50 分)

1. 写出德布罗意(de Broglie)关系，并简述其物理含义，
2. 何为正常塞曼(2ccman)效应?其物理本质是什么?
3. 求对易关系[$x,xp$],其中 $x$ 为位置算特，$p$ 为其共轭动量，
4. 如果粒子处在其动量的本征态上，对其位置进行观测将获得什么样的观测结果?
5. 可观测力学量对应的算符有什么特点?
6. 假定一体系的哈密顿量 $H$ 不含时，且力学量 $A$ 不显含时。问 $A$ 与 $H$ 满足什么关系时 $A$ 为体系的守恒量?
7. 简述氢原子电子基态波函数的特点?
8. 力学量 $A$ 与 $B$ 有究备共同本征画数的必要条件是什么?
9. 粒子处在态 $e^{i\varphi (x)}{\phi }_{(}x)$(其中 $\varphi$ 和 $\phi$ 为实函数)上，在 $x_t$,到 $x_t+dx$ 之间观测到粒子的几率为什么?
10. 举出一个说明光(或电磁辐射)具有粒子性的实验，简单给出理由。

2. 计算题(每题 20 分，共 100 分)

1. 对一个体系，哈密顿量 $\hat{H}$ 具有两个本征值 $E_1$ 和 $E_2$，对应的本征函数是 ${\phi }_1$ 和 ${\phi }_2$。有一与 $\hat{H}$ 不对易的物理量算符 $\hat{A}$，具有两个本征值 $a_1$ 和 $a_2$，相应的本征函数为 $$u_1=\frac{{\phi }_1+{\phi }_2}{\sqrt{2}},u_2=\frac{{\phi }_1-{\phi }_2}{\sqrt{2}}$$ 假设 $t=0$ 时体系初态处于 $u_1$ 态，求算符 $\hat{A}$ 在 $t$ 时刻的平均值。（本题 20 分）
2. 已知在能量表象下某体系的零级哈密顿量及做扰算符为： $$H_0=\left(\begin{array}{ccc}{E}_1^0& 0& 0\\ 0& E_2^0& 0\\ 0& 0& E_3^0\end{array}\right),H^{\prime }=\left(\begin{array}{ccc}0& b& 0\\ b& 0& 0\\ 0& 0& c\end{array}\right)$$ 这里所有的参数均为实数，且 $|b,c|\ll \underset{i\ne j}{min}|E_i^0-E_j^0|,1)$ 用微扰论求该体系的能级修正（到二级近似）及相应的本征态的一极修正。（每问 10 分，本题共 20 分）
3. 某电荷为 $-e$ 的粒子在三维无限大空间运动，其哈密顿算符由下式描述： $$\hat{H}=\frac{1}{2\mu }{(\hat{\mathbf{p}}+\frac{e}{c}\bar{\mathbf{A}})}^2$$ 其中 $c$ 为光速，$\bar{\mathbf{A}}$ 为均匀磁场 $\mathbf{B}$ 的矢量势，规定取为 $\bar{\mathbf{A}}=(-yB,0,0)$
   (1) 该粒子的三个方向的正则动量是否守恒？其轨道角动量及其分量是否守恒？
   (2) 该粒子在 $y$ 方向运动的能量本征值有何特点？（每问 10 分，本题共 20 分）