华东师范大学 2007 年 考研 量子力学

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1. 一、(每小题 6 分，共 30 分)简要回答下列问题

1. 薛定谔方程是否由其它原理推导出来的?它是否适用于相对论性粒子?
2. 厄密算符具有那些特性?为什么猫写力学量的算特必须要求是厄密算符?
3. 力学量之间的对易关系是否具有传递性?即如 $A$ 与 $B$ 对易，且 $B$ 与 $C$ 对易，是否必有 $A$ 与 $C$ 对易?简单举例说明你的判断.
4. $a',a$ 分别是谐振子升降算符，$\lambda$ 是常数，试计算:$\left[ a,e^{\lambda a^+} \right]=?$
5. 简述斯特恩-盖拉赫(Stern-Gerlach)实验的实验现象，通过该实验有什么发现?

2. 二、(10 分)

　　 证明:对一个质量为 $m$ 的粒子，有下式成立: $$\frac{d}{dt} \overline{x^2} = \frac{1}{m} \overline{\left( {x} \hat{p}_x + \hat{p}_x {x}\right)}~$$

3. 三、(10 分)

　　 已知一量子体系，只有两个互相正交的归一化能量本征态 $|1\rangle$ 和 $|2\rangle$，若有某一可观测力学量算符 $\hat{R}$，在 $|1\rangle$ 态下的几个平均值为： $$\langle 1|\hat{R}|1\rangle = 1,\quad \langle 1|\hat{R}^2|1\rangle = \frac{5}{4},\quad \langle 1|\hat{R}^3|1\rangle = \frac{7}{4}~$$ 试求定 $\hat{R}$ 的本征值。

4.（15 分）

　　 假设某原子中有两个价电子，同处于 $E_{nl}$ 上。按 LS 耦合方案， $\vec{L} = \vec{l_1} + \vec{l_2}, \quad \vec{S} = \vec{s_1} + \vec{s_2}, \quad \vec{J} = \vec{L} + \vec{S}.$ 其中 $\vec{l_1}, \vec{l_2}, \vec{s_1}, \vec{s_2}$ 分别为两个电子的轨道角动量算符和自旋算符。 讨论 $L, S, J$ 的可能取值，并证明 $L + S$ 必为偶数。

5. (15 分)

　　 某体系的哈密顿算符为} $\hat{H} = K\hat{I}^2 + \omega \hat{I}_z + \lambda \hat{I}_y$, 其中 $K, \omega, \lambda $ 为正实数，而最后一项可视为微扰项，即 $\lambda \ll \omega, hK. \hat{I}$ 为角动量的失量算符。用微扰方法计算能级（至二级近似，不考虑偶然简并 $$\hat{I}_x Y_{lm} = \hbar \sqrt{l(l+1) - m(m \pm 1)} Y_{l m \pm 1}, \quad \hat{I}_x = \hat{I}_x \pm i \hat{I}_y~$$