华东师范大学 2006 年 考研 量子力学

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1. (15 分)

　　 两个无简并的厄密算符 $\hat{A},\hat{B}$ 满足:$\hat{A}'=\hat{B}'=l$.$\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A}=0$。求:

1. 在 $A$ 表象中 $\hat{A},\hat{B}$ 的矩阵表达形式;
2. 由 $A$ 表象到 $B$ 表象的么正变换矩阵 $S$.

2. (15 分)

　　 考虑三个自旋为 $1/2$ 的非全同粒子组成的系统，哈密顿量为$$\hat{H} = \frac{A}{\hbar^2} \hat{\mathbf{S}}_1 \cdot \hat{\mathbf{S}}_2 + \frac{B}{\hbar^2} (\hat{\mathbf{S}}_1 + \hat{\mathbf{S}}_2)+\hat{\mathbf{S}}_3~$$ ($A$ 和 $B$ 为两个变量数)

　　 其中 $\hat{\mathbf{S}}_1, \hat{\mathbf{S}}_2, \hat{\mathbf{S}}_3$ 分别为三个粒子的自旋算符。求该系统的能级及能级简并度。

3. (15 分)

　　 一个质量为 $m$ 的粒子在一维谐振子势场中运动。在动能与动量之间为 $T = \frac{p^2}{2m}$ 的非相对论极限下，其基态能量我们所熟知的，为 $E_0 = \frac{1}{2}\hbar\omega$。

　　 若考虑动能与动量之间的相对论修正，试用微扰论计算基态能量的移动 $\Delta E_0$(到 $\frac{1}{c^2}$ 阶)。

4. (15 分)

　　 一个磁矩为 $\overline{\mu} = \mu_0 \overline{\sigma}$ 的自旋 $1/2$ 体系处于一个沿 $z$ 轴方向为 $B_0$ 的均匀磁场中。在 $t=0$ 时，再在沿 $x$ 轴方向加入一个大小为 $B_1$ 的均匀磁场。此时新的合成的磁场仍是常磁场，设其方向为 $z'$ 轴。在 $t=0$ 时刻及以前，体系自旋处于 $x_{z} = +\hbar/2$ 本征态上。问：

1. 在 $t=0$ 时刻 $\overline{B}$ 磁场加入瞬间，体系自旅沿 $z'$ 轴的投影 $x_{z} = +\hbar/2$ 的概率各是多少?
2. 在 $1>0$ 时，体系所处的态失量的矩阵表示 $\psi(t)$
3. 在 $t=\tau$ 时，体系处于自旋 $x_{z} = +\hbar/2$ 态的率,

　　 (提示：设置 $z$ 和 $z'$ 轴光角为 $\theta = \arctan\left(B_1/B_2\right) $, $t > 0$ 时的磁场大小为 $B = \sqrt{B_0^2 + B_1^2}.$ 可用以上的量来表示结果)