华东师范大学 2006 年 考研 量子力学

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1. (15 分)

　　 两个无简并的厄密算符 $\hat{A},\hat{B}$ 满足:${\hat{A}}^{\prime }={\hat{B}}^{\prime }=l$.$\hat{A}\hat{B}+\hat{B}\hat{A}=0$。求:

1. 在 $A$ 表象中 $\hat{A},\hat{B}$ 的矩阵表达形式;
2. 由 $A$ 表象到 $B$ 表象的么正变换矩阵 $S$.

2. (15 分)

　　 考虑三个自旋为 $1/2$ 的非全同粒子组成的系统，哈密顿量为$$\hat{H}=\frac{A}{{\hslash }^2}{\hat{\mathbf{S}}}_1\cdot {\hat{\mathbf{S}}}_2+\frac{B}{{\hslash }^2}({\hat{\mathbf{S}}}_1+{\hat{\mathbf{S}}}_2)+{\hat{\mathbf{S}}}_3$$ ($A$ 和 $B$ 为两个变量数)

　　 其中 ${\hat{\mathbf{S}}}_1,{\hat{\mathbf{S}}}_2,{\hat{\mathbf{S}}}_3$ 分别为三个粒子的自旋算符。求该系统的能级及能级简并度。

3. (15 分)

　　 一个质量为 $m$ 的粒子在一维谐振子势场中运动。在动能与动量之间为 $T=\frac{p^2}{2m}$ 的非相对论极限下，其基态能量我们所熟知的，为 $E_0=\frac{1}{2}\hslash \omega$。

　　 若考虑动能与动量之间的相对论修正，试用微扰论计算基态能量的移动 $\mathrm{\Delta }{E}_0$(到 $\frac{1}{c^2}$ 阶)。

4. (15 分)

　　 一个磁矩为 $\bar{\mu }={\mu }_0\bar{\sigma }$ 的自旋 $1/2$ 体系处于一个沿 $z$ 轴方向为 $B_0$ 的均匀磁场中。在 $t=0$ 时，再在沿 $x$ 轴方向加入一个大小为 $B_1$ 的均匀磁场。此时新的合成的磁场仍是常磁场，设其方向为 $z^{\prime }$ 轴。在 $t=0$ 时刻及以前，体系自旋处于 $x_z=+\hslash /2$ 本征态上。问：

1. 在 $t=0$ 时刻 $\bar{B}$ 磁场加入瞬间，体系自旅沿 $z^{\prime }$ 轴的投影 $x_z=+\hslash /2$ 的概率各是多少?
2. 在 $1>0$ 时，体系所处的态失量的矩阵表示 $\psi (t)$
3. 在 $t=\tau$ 时，体系处于自旋 $x_z=+\hslash /2$ 态的率,

　　 (提示：设置 $z$ 和 $z^{\prime }$ 轴光角为 $\theta =\arctan \left(B_1/B_2\right)$, $t>0$ 时的磁场大小为 $B=\sqrt{B_0^2+B_1^2}.$ 可用以上的量来表示结果)