宇宙中的距离

             

预备知识 FRW 度规,宇宙学红移

1. 非可观测距离

   为了有利于定义可观测距离,我们首先定义非观测距离.也称为度规距离.FRW 度规可以写成以下形式

\begin{equation} ds^2=-dt^2+a(t)^2(d\chi^2+S^2_k (\chi) d\Omega^2), \end{equation}
其中
未完成:[xxx]

   度规距离可以被定义为空间度规中立体角的因子

\begin{equation} d_m=S_k(\chi). \end{equation}

   当取平直宇宙的情况,即 $k=0$ 时,度规距离可退化为共动距离(comoving distance) $\chi$. 共动距离可以用宇宙学红移因子 $z$ 和哈勃常数 $H(z)$ 来表达,具体可写成

\begin{equation} \chi(z)=\int^{t_0}_{t_1} \frac{dt}{a(t)}=\int^z_0 \frac{dz}{H(z)}. \end{equation}
这里需要强调,度规距离和共动距离都是非可观测距离.

2. 光度距离

   由于 Type IA 超新星被认为是一个拥有绝对光度 $L$ 的星体(每秒发出恒定的能量), 所以此类星体被称作标准烛光(standard candle).Type IA 超新星爆发的光通过宇宙传到地球后,地球上观测到的能流密度 $F$(单位面积每秒所观测到的能量)可以用于测量距离.我们先假设某一静止 Type IA 超新星,能流 $F$ 与此超新性的共动距离 $\chi$ 的关系为

\begin{equation} F=\frac{L}{4\pi \chi^2}. \end{equation}
然而,由于宇宙的膨胀,在 FRW 度规中,上述关系可以被以下三个原因所修正:

   1、在时间 $t_0$ 时刻超新星的光到达地球,超新星的光穿过地球的固有面积为 $4\pi d_m^2$;

   2、在膨胀的宇宙中,以地球作为参照系,超新星在往后退,所以要除以一个宇宙学红移因子 $1+z$;

   3、相对于超新星,地球也在往后退,所以地球接收到的光子也会产生效应,因而需要再次除以一个宇宙学红移因子 $1+z$

   所以,能流 $F$ 与距离的正确关系应为

\begin{equation} F=\frac{L}{4\pi d_m (1+z)^2}. \end{equation}

3. 角距离

  

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