量子化狄拉克场

贡献者： zhousiyi

　　我们来总结一下狄拉克场的量子化的方法

\begin{matrix} (1) & ψ (x) = \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 E_{p}}} \sum_{s} (a_{p}^{s} u^{s} (p) e^{- i p \cdot x} + b_{p}^{s †} v^{s} (p) e^{i p \cdot x}), \end{matrix}

\begin{matrix} (2) & \bar{ψ} (x) = \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 E_{p}}} \sum_{s} (b_{p} {\bar{v}}^{s} (p) e^{- i p \cdot x} + a_{p}^{s †} {\bar{u}}^{s} (p) e^{i p \cdot x}) . \end{matrix}

产生湮灭算符满足下面的对易关系

\begin{matrix} (3) & {a_{p}^{r}, a_{q}^{s †}} = {b_{p}^{r}, b_{q}^{s †}} = (2 π)^{3} δ^{(3)} (p - q) δ^{r s} . \end{matrix}

ψ

和

ψ^{†}

的等时对易关系为

\begin{matrix} (4) & {ψ_{a} (x), ψ_{b}^{†} (y)} = δ^{(3)} (p - q) δ^{r s} . \end{matrix}

\begin{matrix} (5) & {ψ_{a} (x), ψ_{b} (y)} = {ψ_{a}^{†} (x), ψ_{b}^{†} (y)} = 0 . \end{matrix}

真空

| 0 ⟩

定义为

\begin{matrix} (6) & a_{p}^{s} | 0 ⟩ = b_{p}^{s} | 0 ⟩ = 0 . \end{matrix}

哈密顿量定义为

\begin{matrix} (7) & H = \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} \sum_{s} E_{p} (a_{p}^{s †} a_{p}^{s} + b_{p}^{s †} b_{p}^{s}) . \end{matrix}

注意这里，我们已经把无穷大的常数扔掉了。动量算符定义为

\begin{matrix} (8) & P = \int d^{3} x ψ^{†} (- i \nabla) ψ = \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} \sum_{s} p (a_{p}^{s †} a_{p}^{s} + b_{p}^{s †} b_{p}^{s}) . \end{matrix}

其中

b_{p}^{s †}

和

a_{p}^{s †}

都是产生能量是

E_{p}

, 动量是

p

的粒子的算符。我们就把

a_{p}^{s †}

产生的粒子称为费米子。

b_{p}^{s †}

产生的粒子称为反费米子。

　　现在我们来定义单粒子态

\begin{matrix} (9) & | p, s ⟩ \equiv \sqrt{2 E_{p}} a_{p}^{s †} | 0 ⟩, \end{matrix}

现在我们来定义归一化条件

\begin{matrix} (10) & ⟨ p, r | q, s ⟩ = 2 E_{p} (2 π)^{3} δ^{(3)} (p - q) δ^{r s} \end{matrix}

是洛仑兹不变的。

　　现在我们来看 $ψ$ 在 $U (Λ)$ 下是如何变换的

\begin{matrix} (11) & U ψ (x) U^{- 1} = U \int \frac{d^{3} p}{(2 π)^{3}} \frac{1}{\sqrt{2 E_{p}}} \sum_{s} (a_{p}^{s} u^{s} (p) e^{- i p x} + b_{p}^{s †} v^{s} (p) e^{i p x}) U^{- 1} . \end{matrix}

现在我们来看

a_{p}^{s}

在

U (Λ)

下是如何变换的

\begin{matrix} (12) & U (Λ) a_{p}^{s} U^{- 1} (Λ) = \sqrt{\frac{E_{Λ p}}{E_{p}}} a_{Λ p}^{s} . \end{matrix}

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