量子化狄拉克场

                     

贡献者: zhousiyi

   我们来总结一下狄拉克场的量子化的方法

\begin{equation} \psi(x) = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_{\mathbf p}}} \sum_s (a_{\mathbf p}^s u^s (p) e^{-ip\cdot x} + b_{\mathbf p}^{s\dagger} v^s(p) e^{ip\cdot x})~, \end{equation}
\begin{equation} \bar \psi (x) = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_{\mathbf p}}} \sum_s (b_{\mathbf p}\bar v ^s(p) e^{- i p\cdot x}+ a_{\mathbf p}^{s\dagger} \bar u^s(p)e^{i p \cdot x})~. \end{equation}
产生湮灭算符满足下面的对易关系
\begin{equation} \{a_{\mathbf p}^r,a_{\mathbf q}^{s\dagger}\} = \{b_{\mathbf p}^r,b_{\mathbf q}^{s\dagger}\} = (2\pi)^3\delta^{(3)}(\mathbf p - \mathbf q)\delta^{rs}~. \end{equation}
$\psi$ 和 $\psi^\dagger$ 的等时对易关系为
\begin{equation} \{\psi_a(\mathbf x),\psi_b^\dagger(\mathbf y)\} = \delta^{(3)}(\mathbf p - \mathbf q)\delta^{rs}~. \end{equation}
\begin{equation} \{\psi_a(\mathbf x),\psi_b(\mathbf y)\} = \{\psi_a^\dagger(\mathbf x),\psi_b^\dagger(\mathbf y)\} = 0 ~. \end{equation}
真空 $|0\rangle$ 定义为
\begin{equation} a_{\mathbf p }^s|0\rangle = b_{\mathbf p}^s|0\rangle = 0 \end{equation}
哈密顿量定义为
\begin{equation} H = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\sum_s E_{\mathbf p} (a^{s\dagger}_{\mathbf p}a^{s}_{\mathbf p}+b^{s\dagger}_{\mathbf p}b_{\mathbf p}^s)~. \end{equation}
注意这里,我们已经把无穷大的常数扔掉了.动量算符定义为
\begin{equation} \mathbf P = \int d^3 x \psi^\dagger (-i\nabla)\psi = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \sum_s \mathbf p (a_{\mathbf p}^{s\dagger} a_{\mathbf p}^s+b_{\mathbf p}^{s\dagger}b_{\mathbf p}^s)~. \end{equation}
其中 $b_{\mathbf p}^{s\dagger}$ 和 $a_{\mathbf p}^{s\dagger}$ 都是产生能量是 $E_{\mathbf p}$, 动量是 $\mathbf p$ 的粒子的算符.我们就把 $a_{\mathbf p}^{s\dagger}$ 产生的粒子称为费米子.$b_{\mathbf p}^{s\dagger}$ 产生的粒子称为反费米子.

   现在我们来定义单粒子态

\begin{equation} |\mathbf p,s\rangle \equiv \sqrt{2 E_{\mathbf p}} a_{\mathbf p}^{s\dagger} | 0 \rangle \end{equation}
现在我们来定义归一化条件
\begin{equation} \langle \mathbf p,r|\mathbf q,s\rangle = 2 E_{\mathbf p}(2\pi)^3\delta^{(3)}(\mathbf p - \mathbf q) \delta^{rs} \end{equation}
是洛仑兹不变的.

   现在我们来看 $\psi$ 在 $U(\Lambda)$ 下是如何变换的

\begin{equation} U \psi(x) U^{-1} = U \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_{\mathbf p}}} \sum_s (a_{\mathbf p}^s u^s(p) e^{-ipx}+b_{\mathbf p}^{s\dagger}v^s(p)e^{ipx})U^{-1}~. \end{equation}
现在我们来看 $a^s_{\mathbf p}$ 在 $U(\Lambda)$ 下是如何变换的
\begin{equation} U(\Lambda)a^s_{\mathbf p} U^{-1}(\Lambda) = \sqrt{\frac{E_{\Lambda p}}{E_{p}}} a_{\Lambda p }^s \end{equation}


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