贡献者： zhousiyi
我们来总结一下狄拉克场的量子化的方法
\begin{equation}
\psi(x) = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_{\mathbf p}}} \sum_s (a_{\mathbf p}^s u^s (p) e^{-ip\cdot x} + b_{\mathbf p}^{s\dagger} v^s(p) e^{ip\cdot x})~,
\end{equation}
\begin{equation}
\bar \psi (x) = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_{\mathbf p}}} \sum_s (b_{\mathbf p}\bar v ^s(p) e^{- i p\cdot x}+ a_{\mathbf p}^{s\dagger} \bar u^s(p)e^{i p \cdot x})~.
\end{equation}
产生湮灭算符满足下面的对易关系
\begin{equation}
\{a_{\mathbf p}^r,a_{\mathbf q}^{s\dagger}\} = \{b_{\mathbf p}^r,b_{\mathbf q}^{s\dagger}\} = (2\pi)^3\delta^{(3)}(\mathbf p - \mathbf q)\delta^{rs}~.
\end{equation}
$\psi$ 和 $\psi^\dagger$ 的等时对易关系为
\begin{equation}
\{\psi_a(\mathbf x),\psi_b^\dagger(\mathbf y)\} = \delta^{(3)}(\mathbf p - \mathbf q)\delta^{rs}~.
\end{equation}
\begin{equation}
\{\psi_a(\mathbf x),\psi_b(\mathbf y)\} = \{\psi_a^\dagger(\mathbf x),\psi_b^\dagger(\mathbf y)\} = 0 ~.
\end{equation}
真空 $|0\rangle$ 定义为
\begin{equation}
a_{\mathbf p }^s|0\rangle = b_{\mathbf p}^s|0\rangle = 0~.
\end{equation}
哈密顿量定义为
\begin{equation}
H = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3}\sum_s E_{\mathbf p} (a^{s\dagger}_{\mathbf p}a^{s}_{\mathbf p}+b^{s\dagger}_{\mathbf p}b_{\mathbf p}^s)~.
\end{equation}
注意这里，我们已经把无穷大的常数扔掉了。动量算符定义为
\begin{equation}
\mathbf P = \int d^3 x \psi^\dagger (-i\nabla)\psi = \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \sum_s \mathbf p (a_{\mathbf p}^{s\dagger} a_{\mathbf p}^s+b_{\mathbf p}^{s\dagger}b_{\mathbf p}^s)~.
\end{equation}
其中 $b_{\mathbf p}^{s\dagger}$ 和 $a_{\mathbf p}^{s\dagger}$ 都是产生能量是 $E_{\mathbf p}$, 动量是 $\mathbf p$ 的粒子的算符。我们就把 $a_{\mathbf p}^{s\dagger}$ 产生的粒子称为费米子。$b_{\mathbf p}^{s\dagger}$ 产生的粒子称为反费米子。
现在我们来定义单粒子态
\begin{equation}
|\mathbf p,s\rangle \equiv \sqrt{2 E_{\mathbf p}} a_{\mathbf p}^{s\dagger} | 0 \rangle ~,
\end{equation}
现在我们来定义归一化条件
\begin{equation}
\langle \mathbf p,r|\mathbf q,s\rangle = 2 E_{\mathbf p}(2\pi)^3\delta^{(3)}(\mathbf p - \mathbf q) \delta^{rs}~
\end{equation}
是洛仑兹不变的。
现在我们来看 $\psi$ 在 $U(\Lambda)$ 下是如何变换的
\begin{equation}
U \psi(x) U^{-1} = U \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2 E_{\mathbf p}}} \sum_s (a_{\mathbf p}^s u^s(p) e^{-ipx}+b_{\mathbf p}^{s\dagger}v^s(p)e^{ipx})U^{-1}~.
\end{equation}
现在我们来看 $a^s_{\mathbf p}$ 在 $U(\Lambda)$ 下是如何变换的
\begin{equation}
U(\Lambda)a^s_{\mathbf p} U^{-1}(\Lambda) = \sqrt{\frac{E_{\Lambda p}}{E_{p}}} a_{\Lambda p }^s~.
\end{equation}
致读者： 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。 因此，我们请求广大读者
热心打赏 ，使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损， 并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款， 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识， 我们在此表示感谢。