狄拉克方程的非相对论近似

贡献者： _Eden_; addis

预备知识 1　狄拉克方程

　　狄拉克方程是描述相对论性自由电子的方程式 9 ：（这里我们没有采用自然单位制，所以需要带上 $ℏ, c$ ）

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} i ℏ \frac{\partial}{\partial t} ψ = H ψ, \\ H = c α \cdot p + m c^{2} β, \end{aligned} \end{matrix}

其中

p = - i ℏ \nabla

；

α, β

是四维矩阵代数中的元素，满足一定的反对易关系。更常见地，上式也可以写成式 34 的形式：

\begin{matrix} (2) & i (γ^{μ} \partial_{μ} - \frac{m c}{ℏ}) ψ (x) = 0, \end{matrix}

其中

\partial_{μ} = (\frac{\partial}{\partial (c t)}, \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z})

。

1. 自由电子狄拉克方程的非相对论近似

　　下面我们将从狄拉克方程出发，得到它的非相对论近似。设平面波解

\begin{matrix} (3) & ψ = (\begin{matrix} φ \\ χ \end{matrix}) \exp (- i m c^{2} t / ℏ), \end{matrix}

将它代入狄拉克方程。这里不妨采用

α, β

的标准表示式 6 ，则有

\begin{matrix} (4) & \begin{aligned} i ℏ \frac{\partial}{\partial t} φ = c σ \cdot p χ, \\ i ℏ \frac{\partial}{\partial t} χ = c σ \cdot p φ - 2 m c^{2} χ . \end{aligned} \end{matrix}

注意上面的第二行式子中，由于在非相对论极限下

\frac{\partial}{\partial t} χ

相比等式右边带

c

的分量可以略去，所以有近似等式

\begin{matrix} (5) & χ \approx \frac{1}{2 m c} σ \cdot p φ . \end{matrix}

将它代入式 4 的第一行，可以得到

\begin{matrix} (6) & i ℏ \frac{\partial}{\partial t} φ = \frac{1}{2 m} (σ \cdot p)^{2} φ . \end{matrix}

可以将此式与式 11 进行对比，可以发现两种方式推导出的非相对论性自旋 1/2 粒子的波函数是一致的。

2. 电磁场中狄拉克方程的非相对论近似

预备知识 2　电磁场中的狄拉克方程

　　缓变外场中狄拉克方程可以写为式 6 的形式：

\begin{matrix} (7) & (i γ^{μ} \partial_{μ} - \frac{q}{ℏ} γ^{μ} A_{μ} - \frac{m c}{ℏ}) ψ (x) = 0 . \end{matrix}

在高斯单位制或者洛伦兹-亥维赛单位制下讨论其非相对论极限下的方程，可以令

A_{μ} = (ϕ, - A / c)

。那么这相当于于将前面的自由狄拉克方程作以下的替换：

\begin{matrix} (8) & i ℏ \partial_{t} \to i ℏ \partial_{t} - q ϕ, i ℏ \partial_{x} \to i ℏ \partial_{x} - \frac{q}{c} A_{x} . \end{matrix}

或者说，用能量动量算符来表达：

\begin{matrix} (9) & \hat{H} \to \hat{H} - q ϕ, \hat{P} \to \hat{P} - \frac{q}{c} A . \end{matrix}

因此很容易将式 6 推广到电磁场中狄拉克方程的非相对论极限：

\begin{matrix} (10) & i ℏ \frac{\partial}{\partial t} φ = \frac{1}{2 m} {[σ \cdot (\hat{P} - \frac{q}{c} A)]}^{2} φ + q ϕ φ, \end{matrix}

这里

\hat{P} = - i ℏ \nabla

。继续推导则可以得到泡利方程。

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。