狄拉克方程的非相对论近似

                     

贡献者: _Eden_

预备知识 狄拉克方程

   狄拉克方程是描述相对论性自由电子的方程式 9 :(这里我们没有采用自然单位制,所以需要带上 $\hbar,c$)

\begin{equation} \begin{aligned} &i\hbar \frac{\partial}{\partial{t}} \psi = H\psi\\ &H=c \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} +mc^2\beta \end{aligned} \end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{p}} =-i\hbar\nabla$;$ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} ,\beta$ 是四维矩阵代数中的元素,满足一定的反对易关系.更常见地,上式也可以写成式 34 的形式:
\begin{equation} i \left(\gamma^\mu \partial_\mu-\frac{mc}{\hbar} \right) \psi(x)=0 \end{equation}
其中 $\partial_\mu= \left( \frac{\partial}{\partial{(ct)}} , \frac{\partial}{\partial{x}} , \frac{\partial}{\partial{y}} , \frac{\partial}{\partial{z}} \right) $.

1. 自由电子狄拉克方程的非相对论近似

   下面我们将从狄拉克方程出发,得到它的非相对论近似.设平面波解

\begin{equation} \psi= \begin{pmatrix}\varphi\\\chi\end{pmatrix} \exp\left(-imc^2t/\hbar\right) \end{equation}
将它代入狄拉克方程.这里不妨采用 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} ,\beta$ 的标准表示式 6 ,则有
\begin{equation} \begin{aligned} &i\hbar \frac{\partial}{\partial{t}} \varphi=c \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} \chi\\ &i\hbar \frac{\partial}{\partial{t}} \chi = c \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} \varphi -2mc^2 \chi \end{aligned} \end{equation}
注意上面的第二行式子中,由于在非相对论极限下 $ \frac{\partial }{\partial t} \chi$ 相比等式右边带 $c$ 的分量可以略去,所以有近似等式
\begin{equation} \chi\approx \frac{1}{2mc} \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} \varphi \end{equation}
将它代入式 4 的第一行,可以得到
\begin{equation} i\hbar \frac{\partial}{\partial{t}} \varphi=\frac{1}{2m}( \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} \cdot \boldsymbol{\mathbf{p}} )^2 \varphi \end{equation}
可以将此式与式 11 进行对比,可以发现两种方式推导出的非相对论性自旋 1/2 粒子的波函数是一致的.

2. 电磁场中狄拉克方程的非相对论近似

预备知识 电磁场中的狄拉克方程

   缓变外场中狄拉克方程可以写为式 6 的形式:

\begin{equation} (i\gamma^\mu \partial_\mu -\frac{q}{\hbar}\gamma^\mu A_\mu - \frac{mc}{\hbar})\psi(x)=0 \end{equation}
在高斯单位制或者洛伦兹-亥维赛单位制下讨论其非相对论极限下的方程,可以令 $A_\mu=(\phi,- \boldsymbol{\mathbf{A}} /c)$.那么这相当于于将前面的自由狄拉克方程作以下的替换:
\begin{equation} i\hbar \partial_t \rightarrow i\hbar\partial_t -q\phi, i\hbar\partial_x\rightarrow i\hbar\partial_x - \frac{q}{c}A_x \end{equation}
或者说,用能量动量算符来表达:
\begin{equation} \hat H\rightarrow \hat H-q\phi, \boldsymbol{\mathbf{\hat P}} \rightarrow \hat { \boldsymbol{\mathbf{P}} }-\frac{q}{c} \boldsymbol{\mathbf{A}} \end{equation}
因此很容易将 式 6 推广到电磁场中狄拉克方程的非相对论极限:
\begin{equation} i\hbar \frac{\partial}{\partial{t}} \varphi = \frac{1}{2m} \left[ \boldsymbol{\mathbf{\sigma}} \cdot \left( \boldsymbol{\mathbf{\hat P}} - \frac{q}{c} \boldsymbol{\mathbf{A}} \right) \right] ^2 \varphi + q\phi \varphi \end{equation}
这里 $\hat{ \boldsymbol{\mathbf{P}} }=-i\hbar\nabla$.继续推导则可以得到泡利方程


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