Matlab 最小二乘法拟合函数

贡献者： addis

　　 我们在 “最小二乘法” 见到的三个例子中，方差函数都是待定系数的线性组合，这种情况下我们令偏导为零后得到的是线性方程组，便于求解。然而当方差不是待定系数的线性组合时，得到的方程组往往非常复杂，这时就需要借助数值计算。相比用数值计算解 $N$ 元的非线性方程组，更简单的方法是直接用数值方法寻找方差函数的极小值（如 Nelder-Mead 算法）。实践证明，大多数情况下极小值点仅有一个，那就是最小值点。

　　 为了验证结果的正确性，我们先来用数值方法拟合 $A \cos\left(x + \varphi_0\right) + C$，并与 “最小二乘法” 中的方法比较结果。

　　 Matlab 代码如下，需要 NelderMead.m 函数：

function curveFit
close all;
% 随机生成简谐曲线
N = 20;
x0 = linspace(0, 2*pi, N);
y0 = 5*rand * sin(x0 + 2*pi * rand) + 10 * rand;
y0 = y0 + 2*rand(1,20); % 产生随机误差
scatter(x0, y0, '+'); % 画出散点
hold on;

% Nelder-Mead 求方差最小值点
f = @(x) norm( x(1)*sin(x0 + x(2)) + x(3) - y0 )^2;
c = NelderMead(f, [5, 1, 5], 1e-7);
% 画拟合结果
x = linspace(0, 2*pi, 50);
y1 = c(1) * sin(x + c(2)) + c(3);
plot(x, y1);

% 解线性方程组求方差最小值点
c = sinfit(x0, y0);
% 画拟合结果
y2 = c(1)*cos(x) + c(2)*sin(x) + c(3);
plot(x, y2, '.');
end

% 拟合简谐曲线
% y = C(1)*cos(x) + C(2)*sin(x) + C(3)
function C = sinfit(x, y)
N = numel(x);
cosx = cos(x); sinx = sin(x);
sc = sum(sinx.*cosx);
s = sum(sinx); c = sum(cosx);
% 系数矩阵
M = [sum(cosx.^2), sc          , c;
               sc, sum(sinx.^2), s;
                c,            s, N];
b = [sum(y.*cosx); sum(y.*sinx); sum(y)];
C = M\b; % 解线性方程组
end

　　 运行结果如图 1 所示，可见两种方法拟合出的曲线一致（红色的曲线和黄色的点线）。注意第 13 行使用了 “Nelder-Mead 算法” 中的函数 NelderMead 求函数句柄 f 的最小值。

　　 一般参数函数的最小二乘法拟合代码为

% 最小二乘法拟合一元实函数，(x0,y0) 是数据点
% fun 是函数句柄， 格式 y = fun(x, p)， 需要支持矢量输入
% p0 是函数初始参数， double 矢量
% 输出最优的 p 以及（局部）最小方差 s
% 使方差 sum(abs(fun(x0, p) - y0).^2) 最小
% p_err 是每个 p(i) 的绝对误差

function [p, s] = curveFit(x0, y0, fun, p0, p_err)
% Nelder-Mead 求方差最小值点
f = @(p) sum((fun(x0, p) - y0).^2);
p = NelderMead(f, p0, p_err);
s = fun(x0, p);
end