卷积

贡献者： xzllxls

预备知识　定积分，反常积分（简明微积分）

　　卷积（Convolution）是两个实变函数之间的运算，可以生成第三个函数。设有两个函数 $f(x)$ 和 $g(x)$，$x \in R$，卷积后的结果函数为 $s(t)$, $t \in R$。卷积运算通过定积分定义如下：

\begin{equation} s(t) = (f*g)(t) = \int_{ - \infty }^{ + \infty } {f(x)g(t - x)dx}~. \end{equation}

其中，星号*表示卷积运算。

　　从直观上说，卷积，顾名思义，就是相当于把一个函数水平翻转（flip）——即 “卷”——之后，与另一个函数求积。

　　上述是卷积的连续情况下的定义。在实际应用中，所测量到的物理量可能是离散的。可以将上式中的积分换成求和即可。卷积在离散情形下的定义如下：

\begin{equation} s(t) = (f*g)(t) = \sum_{ x = - \infty }^{ + \infty } {f(x)g(t - x)}~. \end{equation}

　　在卷积神经网络中，通常称卷积的第一个参数，即式($2$)中的 $x$ 为输入，第二个参数，即式($2$)中的函数 $g$ 为卷积核（kernel）。

　　卷积运算是卷积神经网络的基本操作。整个卷积网络是由大量卷积操作搭建而成。由于数据在计算机中均是离散形式，因此卷积神经网络中的卷积运算均是离散形式的操作。卷积网络的特点是指考虑相邻神经元之间的联系，而早先的全连接网络则是要考虑同一层的每两个神经元之间的关系。

　　 卷积神经网络最擅长处理的是图像任务。图像数据在计算机中的通常表示为矩阵，是二维形式的数据。对于二维离散数据的卷积操作，定义如下：

\begin{equation} S(i,j) = (I*K)(i,j) = \sum_{m}\sum_{n}I(m,n)*K(i-m,j-n)~. \end{equation}

　　值得注意的是，真正的卷积神经网络中的卷积其实并非符合上述定义的真正的卷积，而是所谓互相关函数（cross-correlation）。也就是说，实际网络中的卷积并没有翻转卷积核的操作[1]。

　　 参考文献:

I. Goodfellow, Y. Bengio, and A. Courville, Deep learning. MIT press, 2016.

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