实数的表示

             

贡献者: DTSIo; addis

预备知识 完备公理(戴德金分割)

   我们最熟悉的实数表示方式是十进制小数或者二进制数.在这里,我们可以借助实数公理而给予这些表示以严格的逻辑基础.特别地,这能够解释一个古老的问题:$0.\dot{9}$ 到底等不等于 $1$?

   我们固定一个正整数 $q > 1$ 作为进位制的基底.取 $q=2$ 或 $q=10$ 当然是最熟知的.

   我们从如下非常简单的命题开始.

引理 1 

   设实数 $x > 0$. 则有唯一一个整数 $n\in\mathbb{Z}$ 和唯一一个 $a\in\{1,2,...,q-1\}$, 使得 $aq^n\leq x < (a+1)q^{n}$.

   实际上,整个正实数轴被划分成彼此不相交的区间 $[aq^n,(a+1)q^{n})$; 这里 $n$ 跑遍所有整数,$a$ 跑遍 $1,2,...,q-1$. 因此正实数 $x$ 只能属于所有这些区间之中的一个.

   将对应于 $x$ 的这两个整数记为 $n_1$ 和 $a_1$. 则 $x-a_1q^{n_1}$ 是非负实数.如果它等于零,那么无需续行,否则可以对它继续应用上述命题,而得到 $n_2\in\mathbb{Z}$ 和 $a_2\in\{1,2,...,q-1\}$, 使得 $a_2q^{n_2}\leq x-a_1q^{n_1} < (a_2+1)q^{n_2}$. 由此不等式立刻可得 \[ q^{n_2}\leq a_2q^{n_2}\leq x-a_1q^{n_1}<q^{n_1}, \] 从而 $n_2 < n_1$. 如果 $x-a_1q^{n_1}-a_2q^{n_2}$ 等于零,则无需续行,否则可以再次重复上面的过程.这样就得到了一个取值于 $\{1,2,...,q-1\}$ 的整数序列 $a_1,a_2,...$, 以及一列递降的整数 $n_1 > n_2 > ...$, 使得 \[ 0\leq x-a_1q^{n_1}-a_2q^{n_2}-...-a_kq^{n_k}<q^{n_k}. \] 递降的整数序列序列 $n_1 > n_2 > ...$ 或者在某处终止(这意味着上面的操作在某一步因差值为零而停止,由此 $x$ 在 $q$ 进制下的表达式是有限的), 或者只能递降到负无穷.因此当 $k\to\infty$ 时,序列 $a_1q^{n_1}+a_2q^{n_2}+...+a_kq^{n_k}$ 越来越逼近实数 $x$. 于是可以写下如下的形式等式: \[ x=a_1q^{n_1}+a_2q^{n_2}+...+a_kq^{n_k}+... \] 它的严格含义是,右端和式的前面有限项组成的序列的极限是 $x$.


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