实数的表示

贡献者： DTSIo; Giacomo

预备知识　完备公理（戴德金分割）

　　我们最熟悉的实数表示方式是十进制小数或者二进制数。在这里，我们可以借助实数公理而给予这些表示以严格的逻辑基础。特别地，这能够解释一个古老的问题：$0.\dot{9}$ 到底等不等于 $1$?

　　我们固定一个正整数 $q>1$ 作为进位制的基底。取 $q=2$ 或 $q=10$ 当然是最熟知的。

　　我们从如下非常简单的命题开始。

引理 1　

　　设实数 $x>0$. 则有唯一一个整数 $n\in\mathbb{Z}$ 和唯一一个 $a\in\{1,2,...,q-1\}$, 使得 $aq^n\leq x<(a+1)q^{n}$.

　　实际上，整个正实数轴被划分成彼此不相交的区间 $[aq^n,(a+1)q^{n})$; 这里 $n$ 跑遍所有整数，$a$ 跑遍 $1,2,...,q-1$. 因此正实数 $x$ 只能属于所有这些区间之中的一个。

　　将对应于 $x$ 的这两个整数记为 $n_1$ 和 $a_1$. 则 $x-a_1q^{n_1}$ 是非负实数。如果它等于零，那么无需续行，否则可以对它继续应用上述命题，而得到 $n_2\in\mathbb{Z}$ 和 $a_2\in\{1,2,...,q-1\}$, 使得 $a_2q^{n_2}\leq x-a_1q^{n_1}<(a_2+1)q^{n_2}$. 由此不等式立刻可得 \[ q^{n_2}\leq a_2q^{n_2}\leq x-a_1q^{n_1}< q^{n_1}~, \] 从而 $n_2< n_1$. 如果 $x-a_1q^{n_1}-a_2q^{n_2}$ 等于零，则无需续行，否则可以再次重复上面的过程。这样就得到了一个取值于 $\{1,2,...,q-1\}$ 的整数序列 $a_1,a_2,...$, 以及一列递降的整数 $n_1>n_2>...$, 使得 \[ 0\leq x-a_1q^{n_1}-a_2q^{n_2}-...-a_kq^{n_k}< q^{n_k}~. \] 递降的整数序列序列 $n_1>n_2>...$ 或者在某处终止（这意味着上面的操作在某一步因差值为零而停止，由此 $x$ 在 $q$ 进制下的表达式是有限的）, 或者只能递降到负无穷。因此当 $k\to\infty$ 时，序列 $a_1q^{n_1}+a_2q^{n_2}+...+a_kq^{n_k}$ 越来越逼近实数 $x$. 于是可以写下如下的形式等式：

\begin{equation} x=a_1q^{n_1}+a_2q^{n_2}+...+a_kq^{n_k}+... ~ \end{equation}

　　它的严格含义是，右端和式的前面有限项组成的序列的极限是 $x$.

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