中国科学院 2012 年考研数学(甲)

贡献者： addis

　　 声明：“该内容来源于网络公开资料，不保证真实性，如有侵权请联系管理员”

1. 选择题

　　 1.函数 $f(x)=x\cos x^2$, 正确结论是()
(A).在($-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }$)内有界
(B).当 $x\to \mathrm{\infty }$ 时 $f(x)$ 为无穷大
(C)在($-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }$)内无界
(D).当 $x\to \mathrm{\infty }$ 时 $f(x)$ 极限存在

　　 2.函数 $f(x)$ 在($-\mathrm{\infty },+\mathrm{\infty }$)上是连续函数，且 $0<m<f(x)<M<\mathrm{\infty }$。则 $\frac{1}{m}{\int }_{-m}^m(f(t)-M)\mathrm{d}t$ 的最大取值区间是（）
(A).$(-M-m,m-M)$( B).$(2m-2M,0)$
(C).$(m-M,0)$(D).$(0,M+m)$

　　 3.微分方程 $y{y}^{″}-(y^{\prime }{)}^2=0$ 的一个特解是（）
(A).$y=x{\mathrm{e}}^x$ $$ (B).$y=x\ln x$ $$ (C).$y=\ln x$ $$ (D).$y={\mathrm{e}}^x$

　　 4.已知 $n,m$ 是正整数，且 $n<m$,如果

　　 5.函数 $f(x)={\mathrm{e}}^x-x^2-4x-3$ 在其定义域内零点的个数是()
(A).1 $$(B).2 $$(C).3 $$ (D).多于 3

　　 6.若函数 $f(x)=\{\begin{array}{rlr}& {\mathrm{e}}^x(\sin x+\cos x),& x⩾0\\ & ab{x}^2+ax+2a+b,& x<0\end{array}$ 的导函数在 $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ 上连续，则()
(A).$a=2,b=-1$ $$ (B).$a=2,b=-3$
(C).$a=1,b=-3$ $$ (A).$a=1,b=-1$

　　 7.若幂级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_n(x-1{)}^n}$ 在 x=4 处条件收敛，则级数 ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n(1+2^n)a_n}$
(A).条件收敛 $$ (B).发散 $$ (C)绝对收敛 $$(D).不能确定

　　 8.设 $S$ 为螺旋面 $x=u\cos v,y=u\sin v,z=v$ 的一部分，$0⩽u⩽\sqrt{15},0⩽v⩽\pi ,$ 则 $\int {\int }_S\sqrt{x^2+y^2}\mathrm{d}S$ 的值为()
(A).17 $\pi$ (B).19$\pi$ (C).21$\pi$ (D).23$\pi$

　　 9.${\displaystyle \underset{\begin{array}{c}x\to 0\end{array}}{lim}(\frac{x}{\sin x}{)}^{\frac{1}{1-\cos x}}}$ 的值为()
(A).${\mathrm{e}}^{\frac{1}{3}}$ (B).${\mathrm{e}}^{-\frac{1}{3}}$ (C).${\mathrm{e}}^{\frac{1}{2}}$ (D).${\mathrm{e}}^{-\frac{1}{2}}$

　　 10.一平面过点 $M(1,1,-1)$ 且与直线 $L:\frac{x}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{-1}$ 垂直，则该平面与平面 $x-2y-z+1=0$ 的交线的方向数是()
(A).$(-5,1,3)$ (B).$(1,-3,5)$ (C).$(1,-5,3)$ (D).$(3,-1,5)$

2. 应用题

　　 1.证明极限 ${\displaystyle \underset{\begin{array}{c}n\to \mathrm{\infty }\end{array}}{lim}(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+\cdots +\frac{1}{3n})}$ 存在，并求出极限值。

　　 2.求微分方程 $y{y}^{″}-3y^{\prime }+2y={\mathrm{e}}^x(2x+1)$ 的通解。

　　 3.计算 $\int {\int }_D(x|y|+xy)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$,其中 $D$ 是由抛物线 $5y=x^2-6$ 和抛物线 $y^2=x$ 围成的闭区域。

　　 4.将函数 $f(x)=|x-1|(0⩽x⩽\pi )$ 展开成正弦级数。

　　 5.设函数 $f(x)={\int }_x^1{\mathrm{e}}^{-t^2}\mathrm{d}t$,求 ${\int }_0^1{x}^{2}f(x)\mathrm{d}x$ 的值.

　　 6.计算曲线积分 $\oint \frac{x\mathrm{d}y-y\mathrm{d}x}{x^2+2y^2}$，其中 $L$ 是由直线 $x+y=1,y=x-1$ 和半圆周 $x^2+y^2=1,x⩽0$ 所围成的闭曲线，方向为逆时针方向。

　　 7.设函数 $f(x)$ 连续，且 $f^2(x)⩽{|x|}^3$，记 $F(x)={\int }_0^{1}f(xt)\mathrm{d}t$，求 $F^{\prime }(x)$，并讨论 $F^{\prime }(x)$ 的连续性。

　　 8.函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，$0<a<b$。证明存在 $\zeta \in (a,b)$，使得 $\frac{a+b}{2\zeta }{f}^{\prime }(\zeta )=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

　　 9.函数 $f(x)$ 在 $(-\mathrm{\infty },\mathrm{\infty })$ 上满足 $f^{″}(x)>0$。证明

　　 10.设 $a<b$，函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 ${\int }_b^{a}f(x)\mathrm{d}x={\int }_b^{a}xf(x)\mathrm{d}x={\int }_b^a{x}^{2}f(x)\mathrm{d}x=0$。证明在 $(a,b)$ 上至少存在三个不同点 $x_1,x_2,x_3$，使得 $f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=0$。