中国科学院 2012 年考研数学(甲)

贡献者： addis

1. 选择题

　　 1.函数 $f(x)=x\cos x^2$, 正确结论是()
(A).在($-\infty~,+\infty$)内有界
(B).当 $x\to\infty$ 时 $f(x)$ 为无穷大
(C)在($-\infty~,+\infty$)内无界
(D).当 $x\to\infty$ 时 $f(x)$ 极限存在

　　 2.函数 $f(x)$ 在($-\infty~,+\infty$)上是连续函数，且 $0< m< f(x)< M<\infty$。则 $ \frac{1}{m} \int_{-m}^{m}(f(t)-M ) \,\mathrm{d}{t} $ 的最大取值区间是（）
(A).$(-M-m,m-M) \quad$( B).$ (2m-2M,0)$
(C).$(m-M,0)\qquad \qquad $(D).$(0,M+m)$

　　 3.微分方程 $y y''-(y')^2=0$ 的一个特解是（）
(A).$y=x \mathrm{e} ^x$ $\quad$ (B).$y=x\ln x$ $\quad$ (C).$y=\ln x$ $\quad$ (D).$y= \mathrm{e} ^x$

　　 4.已知 $n,m$ 是正整数，且 $n< m$,如果

　　 5.函数 $f(x)= \mathrm{e} ^x-x^2-4x-3$ 在其定义域内零点的个数是()
(A).1 $\quad$(B).2 $\quad$(C).3 $\quad$ (D).多于 3

　　 6.若函数 $f(x)= \left\{\begin{aligned} & \mathrm{e} ^x(\sin x+\cos x),&x\geqslant0\\ &abx^2+ax+2a+b,&x<0 \end{aligned}\right. $ 的导函数在 $(-\infty,\infty)$ 上连续，则()
(A).$a=2,b=-1$ $\quad$ (B).$a=2,b=-3$
(C).$a=1,b=-3$ $\quad$ (A).$a=1,b=-1$

　　 7.若幂级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty a_n(x-1)^n$ 在 x=4 处条件收敛，则级数 $\displaystyle \sum_{n=1}^\infty (-1)^n(1+2^n)a_n $
(A).条件收敛 $\quad$ (B).发散 $\quad$ (C)绝对收敛 $\quad$(D).不能确定

　　 8.设 $S$ 为螺旋面 $x=u\cos v,y=u\sin v,z=v$ 的一部分，$0\leqslant u \leqslant \sqrt{15},0 \leqslant v \leqslant \pi,$ 则 $\int \int_{S} \sqrt{x^2+y^2} \,\mathrm{d}{S} $ 的值为()
(A).17 $\pi \quad$ (B).19$ \pi \quad$ (C).21$ \pi \quad$ (D).23$ \pi \quad$

　　 9.$\displaystyle \lim_{\substack{x \to 0}} (\frac{x}{\sin x})^{\frac{1}{1-\cos x}}$ 的值为()
(A).$ \mathrm{e} ^\frac{1}{3}\quad$ (B).$ \mathrm{e} ^{-\frac{1}{3}}\quad$ (C).$ \mathrm{e} ^\frac{1}{2}\quad$ (D).$ \mathrm{e} ^{-\frac{1}{2}}\quad$

　　 10.一平面过点 $M(1,1,-1)$ 且与直线 $L:\frac{x}{2}=\frac{y+1}{1}=\frac{z-3}{-1}$ 垂直，则该平面与平面 $x-2y-z+1=0$ 的交线的方向数是()
(A).$(-5,1,3)\quad$ (B).$(1,-3,5)\quad$ (C).$(1,-5,3)\quad$ (D).$(3,-1,5)\quad$

2. 应用题

　　 1.证明极限 $\displaystyle \lim_{\substack {n \to \infty}}(\frac{1}{n}+\frac{1}{n+1}+ \dots +\frac{1}{3n})$ 存在，并求出极限值。

　　 2.求微分方程 $yy''-3y'+2y= \mathrm{e} ^x(2x+1)$ 的通解。

　　 3.计算 $\int \int_{D}(x|y|+xy) \,\mathrm{d}{x} \,\mathrm{d}{y} $,其中 $D$ 是由抛物线 $5y=x^2-6$ 和抛物线 $y^2=x$ 围成的闭区域。

　　 4.将函数 $f(x)=|x-1| (0\leqslant x \leqslant \pi)$ 展开成正弦级数。

　　 5.设函数 $f(x)=\int_{x}^{1} \mathrm{e} ^{-t^2} \,\mathrm{d}{t} $,求 $\int_{0}^{1}x^2f(x) \,\mathrm{d}{x} $ 的值.

　　 6.计算曲线积分 $\oint \frac{x \,\mathrm{d}{y} -y \,\mathrm{d}{x} }{x^2+2y^2}$，其中 $L$ 是由直线 $x+y=1,y=x-1$ 和半圆周 $x^2+y^2=1,x \leqslant 0$ 所围成的闭曲线，方向为逆时针方向。

　　 7.设函数 $f(x)$ 连续，且 $f^2(x) \leqslant {|x|}^3$，记 $F(x)=\int_{0}^{1}f(xt) \,\mathrm{d}{t} $，求 $F'(x)$，并讨论 $F'(x)$ 的连续性。

　　 8.函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，$0< a< b$。证明存在 $\zeta \in(a,b)$，使得 $\frac{a+b}{2\zeta}f'(\zeta)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$。

　　 9.函数 $f(x)$ 在 $(-\infty,\infty)$ 上满足 $f''(x)>0$。证明

　　 10.设 $a< b$，函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，且 $\int_{b}^{a}f(x) \,\mathrm{d}{x} =\int_{b}^{a}xf(x) \,\mathrm{d}{x} =\int_{b}^{a}x^2f(x) \,\mathrm{d}{x} =0$。证明在 $(a,b)$ 上至少存在三个不同点 $x_1,x_2,x_3$，使得 $f(x_1)=f(x_2)=f(x_3)=0$。