浮力 阿基米德原理
1. 等效法
1我们先用一个简单易懂的方式解释浮力．假设在重力加速度为 $g$ 的环境中，容器中密度为 $\rho_0$ 的液体完全静止．这时令液体内部有一任意形状的闭合曲面，体积为 $V_0$．把曲面内部的液体作为一个整体做受力分析，其质量为 $m = \rho_0 V_0$，所受重力为 $mg = \rho_0 V_0 g$．由于曲面中液体保持静止，说明曲面外的液体对曲面内的液体施加了相同大小的浮力．现在我们如果把曲面内的液体替换为一块密度为 $\rho$ 的物体，由于曲面形状不改变，外界液体对该物体的浮力仍然为
\begin{equation}
F = \rho_0 V_0 g
\end{equation}
注意 $V_0$ 为物体在水中部分的体积，如果物体只有部分在水中，$V_0$ 将小于物体的体积．
例 1 柱体的浮力
柱体的浮力容易通过简单的压强计算获得．例如一个边长为 $L$ 的立方体完全浸泡在某种液体中，其四个侧面受到的压强都是沿水平方向的，且互相抵消，对浮力贡献为零．下表面受到向上的压强为 $P_1 = \rho g h_1$ 对浮力的贡献为 $F_1 = L^2 P_1$．同理，上表面受到向下的压强为 $P_2 = \rho g h_2$，对浮力的贡献为 $F_2 = -L^2 P_2$．所以总浮力为
\begin{equation}
F = F_1 + F_2 = \rho g L^2 (h_1 - h_2) = \rho g L^3 = \rho g V
\end{equation}
其中 $\rho$ 是液体的体积．对于其他柱体（如圆柱，三棱柱等），若竖直放置，同样可以通过以上方法得到
式 1 ．
2. 散度法
现在我们用面积分的方法表示浮力．令 $z$ 轴竖直向上，且水面处 $z = 0$，则水面下压强为
\begin{equation}
P = -\rho_0 g z
\end{equation}
现在把上述的闭合曲面划分为许多个微面元，第 $i$ 个面元用矢量 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{s}} _i$，表示，其中模长为面元的面积，方向为从内向外的法向．这个面元受到外界液体的压力为
\begin{equation}
\Delta \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = -P\Delta \boldsymbol{\mathbf{s}} _i = \rho_0 g z \Delta \boldsymbol{\mathbf{s}} _i
\end{equation}
现在把所有面元所受的压力求和，并用曲面积分
表示为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} = \oint \rho_0 g z \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} }
\end{equation}
这就是物体所受的浮力．使用
式 1 得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} = \int \boldsymbol\nabla (\rho_0 g z) \,\mathrm{d}{V} = \rho_0 g V_0 \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}
\end{equation}
可见该结论与 “等效法” 中得出的一致．
1. ^ 本文参考 Wikipedia 相关页面．
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