浮力 阿基米德原理

             

1. 等效法

  1我们先用一个简单易懂的方式解释浮力.假设在重力加速度为 $g$ 的环境中,容器中密度为 $\rho_0$ 的液体完全静止.这时令液体内部有一任意形状的闭合曲面,体积为 $V_0$.把曲面内部的液体作为一个整体做受力分析,其质量为 $m = \rho_0 V_0$,所受重力为 $mg = \rho_0 V_0 g$.由于曲面中液体保持静止,说明曲面外的液体对曲面内的液体施加了相同大小的浮力.现在我们如果把曲面内的液体替换为一块密度为 $\rho$ 的物体,由于曲面形状不改变,外界液体对该物体的浮力仍然为

\begin{equation} F = \rho_0 V_0 g \end{equation}
注意 $V_0$ 为物体在水中部分的体积,如果物体只有部分在水中,$V_0$ 将小于物体的体积.

例 1 柱体的浮力

   柱体的浮力容易通过简单的压强计算获得.例如一个边长为 $L$ 的立方体完全浸泡在某种液体中,其四个侧面受到的压强都是沿水平方向的,且互相抵消,对浮力贡献为零.下表面受到向上的压强为 $P_1 = \rho g h_1$ 对浮力的贡献为 $F_1 = L^2 P_1$.同理,上表面受到向下的压强为 $P_2 = \rho g h_2$,对浮力的贡献为 $F_2 = -L^2 P_2$.所以总浮力为

\begin{equation} F = F_1 + F_2 = \rho g L^2 (h_1 - h_2) = \rho g L^3 = \rho g V \end{equation}
其中 $\rho$ 是液体的体积.对于其他柱体(如圆柱,三棱柱等),若竖直放置,同样可以通过以上方法得到式 1

2. 散度法

预备知识 牛顿—莱布尼兹公式的高维拓展

   现在我们用面积分的方法表示浮力.令 $z$ 轴竖直向上,且水面处 $z = 0$,则水面下压强为

\begin{equation} P = -\rho_0 g z \end{equation}
现在把上述的闭合曲面划分为许多个微面元,第 $i$ 个面元用矢量 $\Delta \boldsymbol{\mathbf{s}} _i$,表示,其中模长为面元的面积,方向为从内向外的法向.这个面元受到外界液体的压力为
\begin{equation} \Delta \boldsymbol{\mathbf{F}} _i = -P\Delta \boldsymbol{\mathbf{s}} _i = \rho_0 g z \Delta \boldsymbol{\mathbf{s}} _i \end{equation}
现在把所有面元所受的压力求和,并用曲面积分表示为
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \oint \rho_0 g z \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} } \end{equation}
这就是物体所受的浮力.使用式 1
\begin{equation} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \int \boldsymbol\nabla (\rho_0 g z) \,\mathrm{d}{V} = \rho_0 g V_0 \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} \end{equation}
可见该结论与 “等效法” 中得出的一致.


1. ^ 本文参考 Wikipedia 相关页面

致读者: 小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告,这导致我们处于严重的亏损状态。 长此以往很可能会最终导致我们不得不选择会员制,大量广告,内容付费等。 因此,我们请求广大读者热心打赏 ,使网站得以健康发展。 如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 10 元,我们一个星期内就能脱离亏损, 并保证网站能在接下来的一整年里向所有读者继续免费提供优质内容。 但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款, 他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识, 我们在此表示感谢。

广告位

投放详情

         

© 小时科技 保留一切权利