有限对称群的性质

贡献者：叶月2_

预备知识　置换群、对称群，群的同态与同构

定义 1　

　　阶数为 1 或 2 的置换，称为对合变换（involution）。

定理 1　

　　任意有限置换群都可以表示为两个对合变换的复合。

　　 证明： 我们首先证明，循环置换可以分解为两个对合变换的复合。

　　一个 n 元循环置换可以看作 n 边形上的旋转，而我们知道，二维空间上的旋转可以分解为两个反射，只要保证两次反射轴的夹角是旋转角度的 $1 / 2$ ，对合变换就是这种反射变换的置换表示。以正五边形为例，该过程如下所示：

图 1

　　该循环的分解写作 $(12345) = [(23) (14)] [(13) (45)]$ ，显然， $[(13) (45)]$ 与 $[(23) (14)]$ 就是图中所示的 “反射变换”。

　　由于 $n$ 元置换群总可以拆分成不相交的循环乘积，而每个循环都可以拆成对合之积，则这些对合可以重新组合成两组。如设某置换群可拆分成三个不相交循环之积，用 $σ$ 表示对合变换，且下标首字母不同代表不同循环，则有：

\begin{matrix} (1) & \begin{aligned} f = f_{1} f_{2} f_{3} & = [σ_{11} σ_{12}] [σ_{21} σ_{22}] [σ_{31} σ_{32}] \\ = [σ_{11} σ_{21} σ_{31}] [σ_{12} σ_{22} σ_{32}] \\ = σ_{1}^{'} σ_{2}^{'} . \end{aligned} \end{matrix}

得证。

　　从将循环元素的分解过程中，我们可以看到，对合变换是不相交的对换乘积，称这些不相交的对换为一个对合变换的组分。

有限置换群的自同构群

　　在本节，我们先阐明置换群的内自同构与群本身的关系，再阐明自同构与群的关系。

定理 2　

　　当 $n > 2$ 时， $Inn S_{n} ≅ S_{n}$

　　 证明：

　　由定理 3 得, $Inn S_{n} ≅ S_{n} / C (S_{n})$ ，因此我们只需要证明 $n > 2$ 时，有限置换群的中心是单位元即可。

　　设任意 $σ_{n} \in C (S_{n}) - e$ ，那么 $σ_{n}$ 有三种可能，下面证明，每一种情况总能找到与之不交换的群元素。

若 $σ_{n}$ 是对换，比如 $(a b)$ ，则 $(b c) (a q)$ 必然与之不交换。
若 $σ_{n}$ 是 $k$ 循环，比如 $(a b c d)$ ，则 $(a b)$ 便与之不交换。
若 $σ_{n}$ 是不相交的循环乘积，则在两个循环里各取一元素，组成的对换与之不交换。

　　因此， $σ_{n}$ 是空集， $C (S_{n}) = e$ ，证明成立。

　　自同构是比内自同构更广些的概念，只要求双射同态。思及前文，我们已经证明任意置换都可以拆分成两个不相关的对合之复合。令对合变换表示为 $σ$ ，易证自同构将其映射为对合，因为 $f (σ^{2}) = f (e) = f^{2} (σ)$ ，且能把共轭类映射为共轭类， $f (τ σ τ^{- 1}) = f (τ) f (σ) f^{- 1} (τ)$ 。下面我们来探讨，对合变换彼此共轭需要的条件。

引理 1　

　　对合变换共轭，当且仅当二者组分一致。

　　将对合变换 $σ$ 拆成一系列互不相交的组分乘积，然后用 $τ$ 来做共轭变换，有几种可能结果：

$τ$ 与 $σ$ 无相交元素，此时 $τ σ τ^{- 1} = σ$ ，因此组分一致。
$τ$ 与 $σ$ 其中一个组分只有一个相交元素，则 $τ$ 的其他组分和 $σ$ 交换得 $e$ ，相交部分相乘后与 $σ$ 其他组分无相交，因此组分也一致¹。
$τ$ 包含 $σ$ 的一个组分，则乘积结果为该组分，因此组分不变。
$τ$ 的一个组分是在 $σ$ 的两个组分中各取一个元素。如 $(1 4) [(1 2) (3 4)] (1 4) = (2 4) (1 3)$ 。
$τ$ 是以上情况的任意组合，由于组分彼此互不相交，因此可交换位置到与 $σ$ 中的关联组分相邻，最后得到组分不变的结果。

　　这条引理告诉我们，可以利用组分数量来对对合变换进行共轭类划分。

　　因此我们可以设集合 $I_{k}^{n}$ 是 $S_{n}$ 中由 $k$ 个组分复合而成的的对合变换。考虑到一个组分是一个对换， $k \in [0, n / 2]$ 。

　　因为自同构是同态映射，且把共轭类映射到共轭类，因此 $f (I_{k}^{n}) \subset I_{k^{'}}^{n}, k^{'} \in [0, n / 2]$ 。又因为自同构是双射，所以若 $f (I_{a}^{n}) = f (I_{b}^{n})$ ，则 $| I_{a}^{n} | = | I_{b}^{n} |$ 。所以为了聊自同构映射后的结果，我们需要研究对合集合的基数。

　　由对合集合的定义可知， $I_{a}^{n}$ 是从 $n$ 个元素中选取 $2 a$ 个元素进行有序排列，且该排列里不同对换的顺序，以及一个对换里的元素顺序与对合变换的结果无关。因此，若设 $G_{k} = | I_{k}^{n} |$ ，则

\begin{matrix} (2) & G_{k} = \frac{A_{n}^{2 k}}{2^{k} \times k!} = \frac{n!}{2^{k} (n - k)! k!} . \end{matrix}

　　 若 $G_{a} = G_{b}$ ，唯一解得 $n = 6$ ，此解为 $| I_{3}^{6} | = | I_{1}^{6} |$ 。解的唯一性说明除却 $n = 6$ ， $f (I_{k}^{n}) = I_{k}^{n}$ 。

推论 1　

　　当 $n > 2$ 且 $n \neq 6$ 时， $Aut S_{n} ≅ S_{n}$ 。

　　该推论比定理 2 更强一些。由于 $Inn S_{n} \subset Aut S_{n}$ 且 $Inn S_{n} ≅ S_{n}$ ，因此我们只需要证明 $| Aut S_{n} | = | S_{n} |$ 即可。

　　因为置换总可以拆成不相交的循环，因此我们先看自同构对循环的作用。由于循环是对合变换的乘积，而在 $n \neq 0$ 的时候， $f (I_{k}^{n}) = I_{k}^{n}$ ，因此自同构把对换映射为对换，且这种对换之间的映射是双射。比如对于任意 $f$ ，若设 $f (1 2) = f (a b) = (c d)$ ，则

\begin{matrix} (3) & f ((1 2) (a b)) = f (1 2) f (a b) = I, \end{matrix}

违反了自同构保元素阶数不变的性质。

　　对于 3 阶循环，我们有

\begin{matrix} (4) & f (1 2 3) = f ((1 3) (1 2)) = f (1 3) f (1 2) = (a b) (c d), \end{matrix}

因阶数之不变，

b = c, a \neq d

或

b \neq c, a = d

。

　　同理可知，对于 $k$ 阶循环，自同构相当于将其映射到 $k$ 个对换上，可由 $k$ 个元素标记。现在取 $S_{n}$ 中的 $n$ 阶循环，令

\begin{matrix} (5) & f (1 2 . . . n) = f (1 n) f (1 n - 1) . . . f (1 2) = (i_{1} i_{n}) (i_{1} i_{n - 1}) . . . (i_{1} i_{2}), \end{matrix}

那么对于任意

a, b \neq 1

必有

f (a b) = (i_{a} i_{b})

。因为

f (a b)

与

f (1 a), f (1 b)

都分别只包含一个相同元素。倘若包含的是

i_{1}

，即

f (a b) = (i_{1} i_{k})

，则

f (a b) = f (1 k)

，违背

f

的双射性。所以对于

S_{n}

，任意

f

实际上指定了一个双射

a \to i_{a}

，

i_{a}

是从 1 至

n

中指定一个元素，所以

| Aut S_{n} | = | S_{n} |

，得证。

1. ^ 譬如 $(2 3) (3 4) (2 3) = (2 4)$

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。