Rudin 实分析与复分析笔记 2

贡献者：待更新

1. Chap 7. 微分

7.17 定义在区间 $I = [a, b]$ 上的复函数 $f$ 称为是绝对连续的（简记为 $f$ 在 $I$ 上 $A C)$ , 如果对任意的 $ε > 0$ , 存在 $δ > 0$ , 使得对任意的 $n$ 及 $I$ 上的不相交的区间 $(α_{1}, β_{1})$ , $(α_{2}, β_{2}), \dots, (α_{n}, β_{n})$ , 只要 $\sum_{i = 1}^{n} (β_{i} - α_{i}) < δ$ 就有 $\sum_{i = 1}^{n} | f (β_{i}) - f (α_{i}) | < ε$ . 这种 $f$ 显然是连续的，我们只需取 $n = 1$ 就行了。
7.18 设 $I = [a, b], f : I \to R^{1}$ 为非递减的连续函数，则下述命题等价：(a) $f$ 在 $I$ 上 AC. (b) $f$ 将零测度集映到零测度集。(c) $f$ 在 $I$ 上几乎处处可微， $f^{'} \in L^{1}$ 且 $f (x) - f (a) = \int_{a}^{x} f^{'} (t) d t (a ⩽ x ⩽ b)$

2. Chap 8. 积空间上的积分

8.1 笛卡儿积上的可测性: 若 $X$ 和 $Y$ 是两个集，它们的笛卡儿积 $X \times Y$ 是所有 $x \in X, y \in Y$ 的序对 $(x, y)$ 的集。若 $A \subset X$ 和 $B \subset Y$ , 便得出 $A \times B \subset X \times Y$ . 称任一形如 $A \times B$ 的集为 $X \times Y$ 内的矩形。现在假定 $(X, S)$ 和 $(Y, T)$ 是可测空间。回忆一下，这无非是说 $S$ 是 $X$ 内的 $σ -$ 代数， $T$ 是 $Y$ 内的 $σ$ -代数。一个可测矩形是任一形如 $A \times B$ 的集，这里 $A \in S, B \in T$ . 若 $Q = R_{1} \cup \dots \cup R_{n}$ , 这里每个 $R_{i}$ 是可测矩形，且对 $i \neq j, R_{i} \cap R_{j} = \emptyset$ , 我们就说 $Q \in E$ 即所有基本集的类。 $S \times T$ 定义为包含所有的可测矩形的 $X \times Y$ 的最小的 $σ$ -代数。单调类 $M$ 是具有下列性质的集族：若 $A_{i} \in M, B_{i} \in M, A_{i} \subset A_{i + 1}, B_{i} \supset B_{i + 1}$ , 对 $i = 1, 2 \dots$ 成立，且若 $A = ⋃_{i = 1}^{\infty} A_{i}, B = ⋂_{i = 1}^{\infty} B_{i}$ 则 $A \in M$ 和 $B \in M$ . 若 $E \subset X \times Y, x \in X, y \in Y$ , 定义 $E_{x} = {y : (x, y) \in E}, E^{y} = {x : (x, y) \in E}$ , 分别称 $E_{x}$ 和 $E^{y}$ 为 $E$ 的 $x$ -截口和 $y$ -截口. 注意 $E_{x} \subset Y, E^{y} \subset X$ .

3. Chap 9. 傅里叶变换

9.1 本章我们将从以前的记号出发，并用字母 $m$ 记 $R^{1}$ 上的勒贝格测度被 $\sqrt{2 π}$ 除的结果，而不是 $R^{1}$ 上的勒贝格测度。这个约定简化了一些结果的外貌，例如反演定理和 Plancherel 定理。因此，我们将用记号 $\int_{- \infty}^{\infty} f (x) d m (x) = \frac{1}{\sqrt{2 π}} \int_{- \infty}^{\infty} f (x) d x$ , 其中 $d x$ 是通常的勒贝格测度，并定义 $‖ f ‖_{p} = {\int_{- \infty}^{\infty} | f (x) |^{p} d m (x)}^{1 / p} (1 ⩽ p < \infty)$ , $(f * g) (x) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x - y) g (y) d m (y) (x \in R^{1})$ 和 $\hat{f} (t) = \int_{- \infty}^{\infty} f (x) e^{- i x t} d m (x) (t \in R^{1})$ . 本章中，我们将用 $L^{p}$ 代替 $L^{p} (R^{1})$ , 而 $C_{0}$ 将记 $R^{1}$ 上所有在无穷远点为零的连续函数的空间。如果 $f \in L^{1}$ , 则最后的积分对每个实数 $t$ 都是完全确定的。函数 $\hat{f}$ 称为 $f$ 的傅里叶变换。注意，术语 “傅里叶变换” 也用于把 $f$ 映为 $\hat{f}$ 的映射。
9.2 设 $f \in L^{1}, α$ 和 $λ$ 是实数。(a) 如果 $g (x) = f (x) e^{i α x}$ , 则 $\hat{g} (t) = \hat{f} (t - α)$ . (b) 如果 $g (x) = f (x - α)$ , 则 $\hat{g} (t) = \hat{f} (t) e^{- i α x}$ . (c) 如果 $g \in L^{1}, h = f * g$ , 则 $\hat{h} (t) = \hat{f} (t) \hat{g} (t)$ . 因此，傅里叶变换用特征标来乘化为平移，反之亦然，并把卷积化为点态相乘的积。(d) 如果 $g (x) = \overset{―}{f (- x)}$ , 则 $\hat{g} (t) = \overset{―}{\hat{f} (t)}$ . (e) 如果 $g (x) = f (x / λ)$ 且 $λ > 0$ , 则 $\hat{g} (t) = λ \hat{f} (λ t)$ . (f) 如果 $g (x) = - i x f (x)$ 且 $g \in L^{1}$ , 则 $\hat{f}$ 是可徽的，且 ${\hat{f}}^{'} (t) = \hat{g} (t)$ .
9.6 如果 $f \in L^{1}$ , 则 $\hat{f \in C_{0}}$ , 且 $‖ \hat{f} ‖_{\infty} ⩽ ‖ f ‖_{1}$ .
9.11 反演定理：如果 $f \in L^{1}$ 和 $\hat{f} \in L^{1}$ , 且 $g (x) = \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (t) e^{i t x} d m (t) (x \in R^{1})$ 则 $g \in C_{0}$ 和 $f (x) = g (x)$ a. e.
9.13 对每个 $f \in L^{2}$ 都能对应一个函数 $\hat{f} \in L^{2}$ , 使得下述性质成立：(a) 如果 $f \in L^{1} \cap L^{2}$ , 则 $\hat{f}$ 是 $f$ 的前面定义过的傅里叶变换。(b) 对每个 $f \in L^{2}, ‖ \hat{f} ‖_{2} = ‖ f ‖_{2}$ . (c) 映射 $f \to \hat{f}$ 是一个 $L^{2}$ 到 $L^{2}$ 上的希尔伯特空间的同构。(d) 在 $f$ 和 $\hat{f}$ 之间存在下述对称关系：如果 $φ_{A} (t) = \int_{- A}^{A} f (x) e^{- i x t} d m (x)$ 和 $ψ_{A} (x) = \int_{- A}^{A} \hat{f} (t) e^{- i x t} d m (t)$ , 则当 $A \to \infty$ 时， ${‖ φ_{A} - \hat{f} ‖}_{2} \to 0$ 和 ${‖ ψ_{A} - f ‖}_{2} \to 0$ .
9.14 如果 $f \in L^{2}$ 和 $\hat{f} \in L^{1}$ , 则 $f (x) = \int_{- \infty}^{\infty} \hat{f} (t) e^{i x t} d m (t)$ a. e.
9.18 巴拿赫代数 $L^{1}$ 设 $A$ 是一个巴拿赫空间，如果 $A$ 中定义了一种乘法，并满足不等式 $‖ x y ‖ ⩽ ‖ x ‖ ‖ y ‖ (x, y \in A)$ , 结合律 $x (y z) = (x y) z$ , 分配律 $x (y + z) = x y + x z$ , $(y + z) x = y x + z x$ $(x, y, z \in A)$ 和关系 $(α x) y = x (α y) = α (x y)$ , 其中 $α$ 是任意标量，则称 $A$ 为巴拿赫代数。
9.20 复同态 巴拿赫代数上最重要的复函数是 $A$ 到复数域内的同态。确切地说是存在保持乘法的线性泛函，即是说，此函数 $φ$ 对所有的 $x, y \in A$ 和一切标量 $α, β$ , 有 $φ (α x + β y) = α φ (x) + β φ (y), φ (x y) = φ (x) φ (y)$
9.23 $L^{1}$ 上的每个复同态 $φ$ (除 $φ = 0$ 外), 都对应有唯一的 $t \in R^{1}$ , 使得 $φ (f) = \hat{f} (t)$

4. Chap 10. 全纯函数的初等性质

10.2 假设 $f$ 为定义在 $Ω$ 内的复函数。如果 $z_{0} \in Ω$ , 且 $lim_{z \to z_{0}} \frac{f (z) - f (z_{0})}{z - z_{0}}$ 存在，我们记这极限为 $f^{'} (z_{0})$ , 并称它为 $f$ 在 $z_{0}$ 的导数。如果对每一个 $z_{0} \in Ω$ , $f^{'} (z_{0})$ 都存在，我们就称 $f$ 在 $Ω$ 内是全纯的 (或解析的). 所有在 $Ω$ 内全纯的函数类將记为 $H (Ω)$ .
10.5 对幂级数的理论我们仅假定下面这一点是已知的。就是对每一个幂级数 $\sum_{n = 0}^{\infty} c_{n} (z - a)^{n}$ 对应有一个数 $R \in [0, \infty]$ , 使得对每一个 $r < R$ , 此级数在 $\bar{D} (a; r)$ 内绝对一致收敛，而当 $z \notin \bar{D} (a; R)$ 时，这个级数发散。这个 “收敛半径” $R$ 可由根式判别法给出 $\frac{1}{R} = lim_{n \to \infty} sup {| c_{n} |}^{1 / n}$ . 如果对每个圆盘 $D (a; r) \subset Ω$ , 对应有一个幂级数，这级数对所有 $z \in D (a; r)$ 均收敛于 $f (z)$ , 我们称在 $Ω$ 内定义的函数 $f$ 在 $Ω$ 内可表示为幂级数。

5. Chap 11. 调和函数

6. Chap 12. 最大模原理

7. Chap 13. 有理函数逼近

8. Chap 14. 共形映射

9. Chap 15. 全纯函数的零点

15.21 设 ${α_{n}}$ 是 $U$ 内的序列，满足 $α_{n} \neq 0$ 和 $\sum_{n = 1}^{\infty} (1 - | α_{n} |) < \infty$ 若 $k$ 是非负整数，并且 $B (z) = z^{k} \prod_{n = 1}^{\infty} \frac{α_{n} - z}{1 - {\bar{α}}_{n} z} \cdot \frac{| α_{n} |}{α_{n}} (z \in U)$ , 则 $B \in H^{\infty}, B$ 除点 $α_{n}$ (若 $k > 0$ , 则还包括原点) 外没有零点。我们称函数 $B$ 为布拉施克乘积.

10. Chap 16. 解析延拓

11. Chap 17. $H^{p}$ -空间

17.1 定义在平面内开集 $Ω$ 上的一个函数 $u$ 称为下调和函数, 如果它具有下列四个性质：(a) $- \infty ⩽ u (z) < \infty$ 对所有的 $z \in Ω$ 成立。(b) $u$ 在 $Ω$ 内是上半连续的。(c) 当 $\bar{D} (a; r) \subset Ω$ 时，有 $u (a) ⩽ \frac{1}{2 π} \int_{- π}^{π} u (a + r e^{i θ}) d θ$ (d) (c) 中的积分没有一个是 $- \infty$ .
17.7 若 $f \in H (U)$ , $0 ⩽ p ⩽ \infty$ , 令 $‖ f ‖_{p} = sup {{‖ f_{r} ‖}_{p} : 0 ⩽ r < 1}$ . 若 $0 < p ⩽ \infty, H^{p}$ 被定义为所有满足 $‖ f ‖_{p} < \infty$ 的 $f \in H (U)$ 的类。

12. Chap 18. 巴拿赫代数的初等理论

13. Chap 19. 全纯傅里叶变换

14. Chap 20. 用多项式一致逼近

致读者：小时百科一直以来坚持所有内容免费无广告，这导致我们处于严重的亏损状态。长此以往很可能会最终导致我们不得不选择大量广告以及内容付费等。因此，我们请求广大读者热心打赏 ，使网站得以健康发展。如果看到这条信息的每位读者能慷慨打赏 20 元，我们一周就能脱离亏损，并在接下来的一年里向所有读者继续免费提供优质内容。但遗憾的是只有不到 1% 的读者愿意捐款，他们的付出帮助了 99% 的读者免费获取知识，我们在此表示感谢。