黎曼重排定理

                     

贡献者: DTSIo

预备知识 绝对收敛与条件收敛

   相比于绝对收敛级数,条件收敛级数究竟是哪里有问题呢?

   不妨假定讨论的一直是实数项级数.沿用证明绝对收敛级数的重排性质时的构造: $$ a_n^+=\left\{\begin{array}{cc} {a_n}\quad &a_n\geq0;\\ 0\quad &a_n < 0, \end{array}\right. \quad\quad a_n^-=\left\{\begin{array}{cc} 0\quad &a_n\geq0;\\ -a_n\quad &a_n < 0. \end{array}\right. $$ 可以很合理地将 $a_n^+$ 称为正部,$a_n^-$ 称为负部,而当然 $a_n=a_n^+-a_n^-$. 如果级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 是绝对收敛的,那么正部和负部组成的都是收敛的正项级数.而如果这级数只是条件收敛的,那么正部和负部组成的都是发散到无穷的正项级数.在这种情况下,式子 $$ \sum_{n=1}^\infty a_n=\sum_{n=1}^\infty a_n^+-\sum_{n=1}^\infty a_n^- $$ 是没有意义的.

   而后,回忆 绝对收敛与条件收敛中给出的例子 $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n} =1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+... $$ 这个级数的和等于 $\ln2$, 但我们已经通过一种重排技巧将它的和缩减到了本来的和的一半.这个性质不是偶然的.条件收敛级数的收敛完全是因为相邻项之间的正负抵消,而将这件事精确化的正是如下的

定理 1 黎曼重排定理

   设 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 是条件收敛但不绝对收敛的级数,一般项都是实数.则对于任何一个实数 $A$, 都存在正整数集 $\mathbb{N}$ 的一个重排 $\sigma$, 使得 $$ \sum_{n=1}^\infty a_{\sigma(n)}=A. $$

   可以说,黎曼重排定理将条件收敛级数的正负抵消性质发挥到了极致.

   要证明黎曼重排定理,实际上只是需要重复一些构造而已.回忆一下级数收敛的必要条件,知道 $a_n^+$ 和 $a_n^-$ 都收敛到零.不妨先假定给定的实数 $A > 0$. 从正部里取出前 $N_1$ 项,使得恰好有 \[ \sum_{n=1}^{N_1-1}a_n^+\leq A, \quad \sum_{n=1}^{N_1}a_n^+> A. \] 而后从负部里取出前 $N_2$ 项,使得恰好有 \[ \sum_{n=1}^{N_1}a_n^+-\sum_{n=1}^{N_1}a_n^-> A, \quad \sum_{n=1}^{N_1+1}a_n^+-\sum_{n=1}^{N_1}a_n^-\leq A. \] 重复这个操作,就得到了级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 的一个重排.首先,这重排是可以一直继续下去的,因为正部和负部组成的级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n^+$ 和 $\sum_{n=1}^\infty a_n^-$ 都发散至无穷,所以在每一步操作之后总能找到足够多的项来超过/低于给定数 $A$ (这个操作对于绝对收敛级数就做不到,因为在这种情况下找再多的项都不够). 另外,这重排给出的是收敛级数,因为有 $a_n\to0$ 的关系,每一步操作所给出的部分和将会震荡着逼近 $A$.

例 1 黎曼重排定理的例题

   上面的论证可能比较抽象,来看具体例子.还是讨论级数 $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n} =1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+... $$ 现在希望将它重排使之收敛到 1. 所作的重排过程如下: $$ 1-\frac{1}{2}=0.5 < 1; $$ $$ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}=1.0333... > 1; $$ $$ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{4}=0.7833... < 1; $$ $$ 1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}-\frac{1}{4}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}=1.0373... > 1; $$ 如此续行.


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