黎曼重排定理

贡献者： DTSIo

　　 相比于绝对收敛级数，条件收敛级数究竟是哪里有问题呢？

　　 不妨假定讨论的一直是实数项级数。沿用证明绝对收敛级数的重排性质时的构造： $$ a_n^+= \left\{\begin{aligned} &{a_n} &&(a_n\geq0)\\ &0 && (a_n<0)~, \end{aligned}\right. \qquad a_n^-= \left\{\begin{aligned} &0 &&(a_n\geq0)\\ -&a_n &&(a_n<0)~. \end{aligned}\right. $$ 可以很合理地将 $a_n^+$ 称为正部，$a_n^-$ 称为负部，而当然 $a_n=a_n^+-a_n^-$. 如果级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 是绝对收敛的，那么正部和负部组成的都是收敛的正项级数。而如果这级数只是条件收敛的，那么正部和负部组成的都是发散到无穷的正项级数。在这种情况下，式子 $$ \sum_{n=1}^\infty a_n=\sum_{n=1}^\infty a_n^+-\sum_{n=1}^\infty a_n^-~ $$ 是没有意义的。

　　 而后，回忆绝对收敛与条件收敛中给出的例子 $$ \sum_{n=1}^\infty\frac{(-1)^{n+1}}{n} =1-\frac{1}{2}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+...~. $$ 这个级数的和等于 $\ln2$, 但我们已经通过一种重排技巧将它的和缩减到了本来的和的一半。这个性质不是偶然的。条件收敛级数的收敛完全是因为相邻项之间的正负抵消，而将这件事精确化的正是如下的

　　 可以说，黎曼重排定理将条件收敛级数的正负抵消性质发挥到了极致。

　　 要证明黎曼重排定理，实际上只是需要重复一些构造而已。回忆一下级数收敛的必要条件，知道 $a_n^+$ 和 $a_n^-$ 都收敛到零。不妨先假定给定的实数 $A>0$. 从正部里取出前 $N_1$ 项，使得恰好有 \[ \sum_{n=1}^{N_1-1}a_n^+\leq A~, \quad \sum_{n=1}^{N_1}a_n^+> A~. \] 而后从负部里取出前 $N_2$ 项，使得恰好有 \[ \sum_{n=1}^{N_1}a_n^+-\sum_{n=1}^{N_1}a_n^-> A~, \quad \sum_{n=1}^{N_1+1}a_n^+-\sum_{n=1}^{N_1}a_n^-\leq A~. \] 重复这个操作，就得到了级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n$ 的一个重排。首先，这重排是可以一直继续下去的，因为正部和负部组成的级数 $\sum_{n=1}^\infty a_n^+$ 和 $\sum_{n=1}^\infty a_n^-$ 都发散至无穷，所以在每一步操作之后总能找到足够多的项来超过/低于给定数 $A$ (这个操作对于绝对收敛级数就做不到，因为在这种情况下找再多的项都不够). 另外，这重排给出的是收敛级数，因为有 $a_n\to0$ 的关系，每一步操作所给出的部分和将会震荡着逼近 $A$.