差分

                     

贡献者: 有机物

   差分算法可以很快速的给一段区间 $[l, r]$ 加上一个数 $c$.

   一维差分

   朴素的做法和前缀和类似,都是直接一个 for 循坏给区间中的每个数都加 $c$,朴素做法的时间复杂度为 $\mathcal{O}(n \times m)$,$n$ 为序列大小,$m$ 为询问次数.

   差分做法是,构造一个差分数组 $b$,使得 $b_i = a_i - a_{i - 1}$,$(i \geq 2)$,特殊的,规定 $b_1 = a_1$.因此 $a$ 数组就是 $b$ 数组的前缀和,$b$ 数组就称是 $a$ 数组的差分数组.

   $\begin{cases} b_1 = a_1 \\ b_2 = a_2 - a_1 \\ b_3 = a_3 - a_2 \\ \cdots \\ b_i = a_i - a_{i - 1} \end{cases}$

\begin{equation} \sum^i_{k = 1}b_k = \sum^{i}_{k = 1} a_k - \sum^{i - 1}_{k = 1} a_k = a_i \end{equation}

   所以,对 $b$ 数组求前缀和就等于 $a$ 数组.

   若要对 $[l, r]$ 中的每个数加 $c$,对应在 $a$ 数组就是 $c\sum^r_{i= l}a_i$.可以直接在 $b$ 数组上对 $b_l$ 这个位置加 $c$,那么在求 $a$ 数组时,$a_l$、$a_{l + 1}$、$a_{l + 2}$ $\cdots$ $a_n$ 都会加上 $c$.因为 $a$ 数组就是 $b$ 数组的前缀和.

   例子:假设要对 $[1, n]$ 每个数都加 $c$,那么只需要将 $b_1$ 加 $c$ 即可.可见 $a_{1 ... n}$ 都加了 $c$.

   $\begin{cases} a_1 = a_0 + b_1 \\ a_2 = a_1 + b_2 \\ \cdots \\ a_n = a_{n - 1} + b_n \end{cases}$

   因为只需要在 $[l, r]$ 中的每个数加 $c$,$a_{r + 1 ... n}$ 这些数是不需要加的,我们只需要对应在 $b_{r + 1}$ 减去 $c$ 就行了.对应在 $a$ 数组就是 $a_{r + 1..n}$ 这些数没有任何变化.

const int N = 1e5 + 10;
int n, m, a[N], b[N];

int main() 
{
    cin >> n >> m;  
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) b[i] = a[i] - a[i - 1]; // 构造差分数组

    while (m -- ) // m 次询问
    {
        int l, r, c;
        cin >> l >> r >> c;
        b[l] += c, b[r + 1] -= c;   // O(1) 计算
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
    {
        a[i] = a[i - 1] + b[i]; // 求一遍前缀和
        cout << a[i] << ' ';   
    }
    
    return 0;
}

   另外一种构造方式:

void insert(int l, int r, int c)
{
    b[l] += c;
    b[r + 1] -= c;
}

int main()
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
    {
        cin >> a[i];
        insert(i, i, a[i]);
    }
    
    while (m -- )
    {
        int l, r, c;
        cin >> l >> r >> c;
        insert(l, r, c);
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
    {
        a[i] = a[i - 1] + b[i];
        cout << a[i] << ' ';
    }
    
    return 0;
}

   上面两种写法是等价的.

   下面介绍二维差分

   二维差分是将一个矩阵内部以 $(x_1, y_1)$ 左上角、$(x_2, y_2)$ 为右下角的子矩阵内部的每个元素都加 $c$.

   朴素做法类似于一维差分,时间复杂度为 $\mathcal{O}(q \times n^2)$,$q$ 为询问次数,$n^2$ 为子矩阵大小.

   二维差分也同样是构造一个二维差分数组,使得二维数组 $a$ 是 $b$ 数组的二维前缀和.怎么构造差分数组可以不用考虑,只需要考虑核心操作,然后对矩阵中的每个数做一遍核心操作即可构造好 $b$ 数组.可以直接在 $b$ 数组上进行如下几个操作:

  1. $b_{x_1, y_1}$ 加 $c$
  2. $b_{x_1, y_2 + 1}$ 减 $c$
  3. $b_{x_2 + 1, y1}$ 减 $c$
  4. $b_{x_2 + 1, y_2 + 1}$ 加 $c$

   执行完以上 $4$ 个操作,再对 $b$ 数组求一遍前缀和.就可以得到期望答案.

   具体来讲:(都会求前缀和)执行完操作 $1$ 后,以 $x_1, y_1$ 为左上角的矩阵都被加了 $c$.执行完操作 $2$ 后,以 $x_1, y_2 + 1$ 为左上角的矩阵都被减了 $c$.执行完操作 $3$ 后,以 $x_2 + 1, y1$ 为左上角的矩阵都被减了 $c$.执行完操作 $4$ 后,以 $x_2 + 1, y_2 + 1$ 为左上角的矩阵都被加了 $c$.

   二维差分还是比较抽象,可以根据几张图来理解:

图
图 1:操作 $1$
图
图 2:操作 $2$
图
图 3:操作 $3$、$4$

const int N = 1100;
int n, m, q, a[N][N], b[N][N];

void insert(int x1, int y1, int x2, int y2, int c)
{
    b[x1][y1] += c;
    b[x1][y2 + 1] -= c;
    b[x2 + 1][y1] -= c;
    b[x2 + 1][y2 + 1] += c;
}

int main()
{
    cin >> n >> m >> q;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
        {
            cin >> a[i][j];
            insert(i, j, i, j, a[i][j]);   // 构造差分数组 b
        }
        
    while (q -- )
    {
        int x1, y1, x2, y2, c;
        cin >> x1 >> y1 >> x2 >> y2 >> c;
        insert(x1, y1, x2, y2, c);
    }
    
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) 
    {
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
        {
            // 求 a 数组,就是求 b 的二维前缀和
            a[i][j] = a[i - 1][j] + a[i][j - 1] 
                    - a[i - 1][j - 1] + b[i][j];    
            cout << a[i][j] << ' ';
        }
        cout << endl;
    }

    return 0;
}


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