贡献者: 有机物; addis
差分算法可以很快速的给一段区间 加上一个数 。
一维差分
朴素的做法和前缀和类似,都是直接一个 for
循坏给区间中的每个数都加 ,朴素做法的时间复杂度为 , 为序列大小, 为询问次数。
差分做法是,构造一个差分数组 ,使得 ,,特殊的,规定 。因此 数组就是 数组的前缀和, 数组就称是 数组的差分数组。
所以,对 数组求前缀和就等于 数组。
若要对 中的每个数加 ,对应在 数组就是 。可以直接在 数组上对 这个位置加 ,那么在求 数组时,、、 都会加上 。因为 数组就是 数组的前缀和。
例子:假设要对 每个数都加 ,那么只需要将 加 即可。可见 都加了 。
因为只需要在 中的每个数加 , 这些数是不需要加的,我们只需要对应在 减去 就行了。对应在 数组就是 这些数没有任何变化。
另外一种构造方式:
上面两种写法是等价的。
下面介绍二维差分:
二维差分是将一个矩阵内部以 左上角、 为右下角的子矩阵内部的每个元素都加 。
朴素做法类似于一维差分,时间复杂度为 , 为询问次数, 为子矩阵大小。
二维差分也同样是构造一个二维差分数组,使得二维数组 是 数组的二维前缀和。怎么构造差分数组可以不用考虑,只需要考虑核心操作,然后对矩阵中的每个数做一遍核心操作即可构造好 数组。可以直接在 数组上进行如下几个操作:
- 加
- 减
- 减
- 加
执行完以上 个操作,再对 数组求一遍前缀和。就可以得到期望答案。
具体来讲:(都会求前缀和)执行完操作 后,以 为左上角的矩阵都被加了 。执行完操作 后,以 为左上角的矩阵都被减了 。执行完操作 后,以 为左上角的矩阵都被减了 。执行完操作 后,以 为左上角的矩阵都被加了 。
二维差分还是比较抽象,可以根据几张图来理解:
图 1:操作
图 2:操作
图 3:操作 、
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