前缀和

                     

贡献者: 有机物

   前缀和算法分为一维和二维,一维前缀和可以很快速的求序列中某一段的和。而二维前缀和可以快速求一个矩阵中某个子矩阵的和(以下讲的是以 x1,y1 为左上角,x2,y2 为右下角的子矩阵)。

1. 一维前缀和

   一维前缀和的朴素做法是一个 for 循环求和,时间复杂度为:O(n×m)m 为询问次数。

   而前缀和的时间复杂度为:预处理 O(n),查询 O(m)

   一维前缀和:

(1)i=lrai ,

   预处理:

(2)Si=k=1iak .

   如何预处理?

(3)k=1iakk=1i1ak=akk=1iak=k=1i1ak+ak ,

   即:

(4)SkSk1=akSk=Sk1+ak .

   如何求答案?

(5)i=lrai=i=1raii=1l1ai=SrSl1 .

   还有要注意的是 S0=0,因为如果想求 1n 一段数的和可以直接输出 S10S0=S10。因此可以从下标为 1 开始存数,这样就不需要做复杂的处理。

   朴素代码

const int N = 100010;
int a[N];

int main()
{
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i];
    
    while (m -- )
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        
        int res = 0;
        for (int i = l; i <= r; i ++ ) res += a[i];
        cout << res << endl;
    }
    
    return 0;
}

   前缀和

const int N = 100010;
int n, m, a[N], s[N];

int main() 
{
    cin >> n >> m;
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) cin >> a[i];
    for (int i = 1; i <= n; i ++ ) s[i] = s[i - 1] + a[i];
    
    while (m -- )
    {
        int l, r;
        cin >> l >> r;
        cout << s[r] - s[l - 1] << endl;    // 前缀和公式,O(1)
    }
    
    return 0;
}

2. 二维前缀和

   二维前缀和的朴素做法是两重循环暴力求和。时间复杂度为:O(q×nm)q 为询问次数,nm 为矩阵大小。

   而二维前缀和的时间复杂度为 O(n×m)

   二维前缀和:

(6)i=x1x2j=y1y2aij ,

   预处理:

(7)Sij=k1=1ik2=1jak1k2 .

   如何预处理?

   在预处理 Sij 时,要注意 Si1,mSi,j1 都已经被算过了,因为预处理是逐行逐列来计算的(重复地方不重复计算)。

(8)Sij=k1=1ik2=1jak1k2=k1=1i1k2=1j+k1=1ik2=1j1k1=1i1k2=1j1+ai,j ,

   即:

(9)Si,j=Si1,j+Si,j1Si1,j1+ai,j .

   如何求答案?

(10)i=x1x2j=y1y2aij=k1=1x2k2=1y2ak1k2k1=1x11k2=1y2ak1k2k1=1x2k2=1y11ak1k2+k1=1x11k2=1y11ak1k2 ,

   即:

(11)Sx2,y2Sx11,y2Sx2,y11+Sx11,y11 .

   二维前缀和可能有点抽象,可以根据几张图片来对二维前缀和有个更好的理解。

图
图 1:预处理 1
图
图 2:预处理 2
图
图 3:预处理 3
图
图 4:预处理 4
图
图 5:预处理 5
图
图 6:预处理 6

   求前缀和的公式类似推导预处理的过程。

   朴素代码

const int N = 1010;
int n, m, q, a[N][N], s[N][N];

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
            scanf("%d", &a[i][j]);
    
    while (q -- ) 
    {
        int x1, y1, x2, y2;
        scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
        
        int res = 0;
        for (int i = x1; i <= x2; i ++ )
            for (int j = y1; j <= y2; j ++ )
                res += a[i][j];
        
        cout << res << endl;
    }
    
    return 0;
}

   二维前缀和代码:

const int N = 1010;
int n, m, q, a[N][N], s[N][N];

int main()
{
    scanf("%d%d%d", &n, &m, &q);
    for (int i = 1; i <= n; i ++ )
        for (int j = 1; j <= m; j ++ )
        {
            scanf("%d", &a[i][j]);
            s[i][j] = s[i - 1][j] + s[i][j - 1] 
            - s[i - 1][j - 1] + a[i][j];    // 预处理公式
        }
        
    while (q -- )
    {
        int x1, y1, x2, y2;
        scanf("%d%d%d%d", &x1, &y1, &x2, &y2);
        printf("%d\n", 
        s[x2][y2] - s[x1 - 1][y2] 
        - s[x2][y1 - 1] + s[x1 - 1][y1 - 1]);  // 前缀和公式
    }
    
    return 0;
}


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