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Prerequisite 无限深势阱中的高斯波包
，一维自由粒子（量子）
我们这里要讨论的是量子力学中单个粒子的一个特定的一维波函数 $\psi(x,t)$．它描述的粒子的空间分布是一个高斯分布（正态分布）．
设 $t = 0$ 时的波函数（已归一化）
\begin{equation}
\psi (x,0) = \frac{1}{(2\pi\sigma_x ^2)^{1/4}} \mathrm{e} ^{-(x - x_0)^2/(2\sigma_x)^2} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} \frac{p_0}{\hbar}x}
\end{equation}
那么动量表象波函数具有对称的形式
1
\begin{equation}
\psi (p,0) = \frac{1}{(2\pi\sigma_p^2)^{1/4}} \mathrm{e} ^{-(p - p_0)^2/(2\sigma_p)^2} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} \frac{x_0}{\hbar }(p - p_0)}
\end{equation}
其中 $\sigma_x$ 为位置的标准差，$\sigma_p$ 为动量的标准差，满足不确定原理
\begin{equation}
\sigma_x\sigma_p = \frac{\hbar}{2}
\end{equation}
含时波函数为
\begin{equation}\begin{aligned}
\psi (x,t) = &\frac{1}{(2\pi\sigma_x^2)^{1/4}} \frac{1}{\sqrt{1 + \frac{ \mathrm{i} \hbar t}{2m \sigma_x^2}}}
\exp \left[\frac{-(x - p_0 t/m)^2}{(2\sigma_x )^2 \left(1 + \frac{ \mathrm{i} \hbar t}{2m \sigma_x^2} \right) } \right] \exp \left[\frac{ \mathrm{i} p_0}{\hbar } \left(x - \frac{p_0 t}{2m} \right) \right]
\end{aligned}\end{equation}
推导
如果我们想要一维波函数的概率分布为高斯分布，即
\begin{equation}
\left\lvert \psi (x) \right\rvert ^2 = \frac{1}{\sigma_x \sqrt{2\pi}} \mathrm{e} ^{-\frac{x^2}{2\sigma_x^2}}
\end{equation}
先假设波函数为实数，有
\begin{equation}
\psi (x) = \frac{1}{(2\pi\sigma_x^2)^{1/4}} \mathrm{e} ^{- \left(\frac{x}{2\sigma_x} \right) ^2}
\end{equation}
变换到动量表象，得
2
\begin{equation}
\psi(p) = \frac{1}{(2\pi\sigma_p^2)^{1/4}} \mathrm{e} ^{- \left(\frac{p}{2\sigma_p} \right) ^2}
\end{equation}
其中 $\sigma_p = \hbar/(2\sigma_x)$，可见高斯波包一个独特的性质就是在位置和动量表象下都是高斯分布．
由于波函数为实数，动量平均值为零．为了让波函数有一个动量 $p_0$，而维持 $ \left\lvert \psi(x) \right\rvert ^2$ 和 $ \left\lvert \psi(p) \right\rvert ^2$ 的形状不变，我们可以直接将动量表象中的波函数平移 $p_0$，得
\begin{equation}
\psi (p) = \frac{1}{(2\pi\sigma_p^2)^{1/4}} \mathrm{e} ^{- \left(\frac{p - p_0}{2\sigma_p} \right) ^2}
\end{equation}
由傅里叶变换的性质，对应的位置表象波函数需要乘以因子 $ \exp\left( \mathrm{i} p_0 x/\hbar\right) $ 变为
\begin{equation}
\psi(x) = \frac{1}{(2\pi\sigma_x^2)^{1/4}} \mathrm{e} ^{- \left(\frac{x}{2\sigma_x} \right) ^2} { \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} {p_0}x/{\hbar }}}
\end{equation}
类似地，也可以将 $\psi(x)$ 平移 $x_0$
\begin{equation}
\psi (x) = \frac{1}{(2\pi\sigma_x^2)^{1/4}} \mathrm{e} ^{- \left(\frac{x-x_0}{2\sigma_x} \right) ^2} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} p_0 (x-x_0)/\hbar}
\end{equation}
而 $\psi(p)$ 则需要乘以因子 $ \exp\left(- \mathrm{i} x_0 p/\hbar\right) $
\begin{equation}
\psi(p) = \frac{1}{(2\pi\sigma_p^2)^{1/4}} \mathrm{e} ^{- \left(\frac{p - p_0}{2\sigma_p} \right) ^2} \mathrm{e} ^{- \mathrm{i} x_0 p/\hbar}
\end{equation}
将以上两式同乘一个常数 ${ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} {p_0}{x_0}/\hbar }}$ 就得到
eq. 1 和
eq. 2 ．
未完成：时间演化的推导
1. ^ 也可以把eq. 1 和eq. 2 同时除以常数 $ \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} p_0 x_0}$ 使eq. 1 最后的 $x$ 变为 $x-x_0$，eq. 2 最后的 $p-p_0$ 变为 $p$．
2. ^ 可以用 Wolfram Alpha 或 Mathematica 计算积分．