动量表象的薛定谔方程
本文使用原子单位制．一维薛定谔方程为
\begin{equation}
-\frac{1}{2m} \frac{\partial^{2}}{\partial{x}^{2}} \psi(x, t) + V(x,t)\psi(x,t) = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \psi(x,t)
\end{equation}
先来看一维的情况：可以证明，如果 $V(x,t)$ 关于 $x$ 可以被泰勒展开，那么动量表象的薛定谔方程为
\begin{equation}
-\frac{k^2}{2m}\varphi(k, t) + V \left( \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{k}} \right) \varphi(k, t) = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \varphi(k,t)
\end{equation}
证明：把
\begin{equation}
\psi(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}}\int_{-\infty}^{+\infty} \varphi(k,t) \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} kx} \,\mathrm{d}{x}
\end{equation}
代入
eq. 1 ，再利用
eq. 19 即可．证毕．
从另一种方式来理解，表象无关的薛定谔方程为
\begin{equation}
\hat{H} \left\lvert \psi \right\rangle = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \left\lvert \psi \right\rangle
\end{equation}
\begin{equation}
\hat{H} = \frac{ \hat{p} ^2}{2m} + V( \hat{x} )
\end{equation}
而动量表象中 $ \hat{p} = p$，$ \hat{x} = \mathrm{i} \partial/\partial k $，代入即可．
未完成：例子
类似地，动量表象得三维薛定谔方程为
\begin{equation}
-\frac{ \boldsymbol{\mathbf{k}} ^2}{2m}\varphi( \boldsymbol{\mathbf{k}} , t) + V \left( \mathrm{i} \boldsymbol\nabla _k \right) \varphi( \boldsymbol{\mathbf{k}} , t) = \mathrm{i} \frac{\partial}{\partial{t}} \varphi( \boldsymbol{\mathbf{k}} ,t)
\end{equation}