狄拉克符号

　　 在物理中，尤其是量子力学中，我们经常会见到狄拉克符号（Dirac notation）．矢量空间 $X$ 中，如果使用狄拉克符号，那么其中的元素（矢量）$x\in X$ 可以记为 $ \left\lvert x \right\rangle $，我们把它叫做右矢（ket）．对应地，我们把 $X$ 的对偶空间 $X^*$ 中的矢量叫做左矢（bra）¹，记为 $ \left\langle x \right\rvert $．一般来说²，每个 $X^*$ 中的每个左矢和 $X$ 中的右矢是一一对应．我们说任意 $ \left\lvert x \right\rangle $ 和对应的 $ \left\langle x \right\rvert $ 互为对偶．

　　 两矢量的加减法记为 $ \left\lvert x \right\rangle \pm \left\lvert y \right\rangle $，$ \left\lvert x \right\rangle $ 与标量 $\lambda$ 的数乘可以记为 $\lambda \left\lvert x \right\rangle $ 或 $ \left\lvert \lambda x \right\rangle $．

　　 在对偶空间中，加减法、标量积、算符作用同样记为 $ \left\langle x \right\rvert \pm \left\langle y \right\rvert $，$\lambda \left\langle x \right\rvert $ 和 $A \left\langle x \right\rvert $．但要注意的是，我们将 $ \left\lvert \lambda x \right\rangle $ 的对偶矢量记为 $ \left\langle \lambda x \right\rvert $，这样一来，在复矢量空间中把 $\lambda$ 写在左矢的里面和外面意义就变得不一样，即

　　 如果这个矢量空间中定义了内积，那么 $X$ 中任意两个矢量 $ \left\lvert x \right\rangle , \left\lvert y \right\rangle $ 的内积用狄拉克符号记为 $ \left\langle x \middle| y \right\rangle $．我们也可以理解为内积是左矢空间中 $ \left\langle x \right\rvert $ 和右矢空间中 $ \left\lvert y \right\rangle $ 的二元运算．

　　 算符（映射）$A:X\to X$ 作用在 $ \left\lvert x \right\rangle $ 上同样可以记为 $A \left\lvert x \right\rangle $ 或 $ \left\lvert Ax \right\rangle $．$ \left\lvert Ax \right\rangle $ 的对偶记为 $ \left\langle Ax \right\rvert $ 而不是 $A \left\langle x \right\rvert $ 或 $ \left\langle xA \right\rvert $，详见 “伴随算符”．

1. ^ bra 和 ket 这两个单词是由英文单词 bracket 拆分而来的．braket 在这里指 $ \left\langle \cdot \middle| \cdot \right\rangle $．
2. ^ 严格来说，这要求空间 $X$ 是完备的，完备的内积空间又叫希尔伯特空间（Hilbert space），是量子力学中主要讨论的矢量空间．一般来说我们只在希尔伯特空间中使用狄拉克符号．