映射

Prerequisite　集合

　　给定集合 $A$ 和 $B$，我们可以假想从 $A$ 中每一个元素上拉一根有方向的线连接到 $B$ 中的一个元素，这些线的连接方式就被称为一个从 $A$ 到 $B$ 的映射（mapping），也叫算符（operator）．将这个映射记为 $f$，$A$ 叫做 $f$ 的定义域（domain），$B$ 叫做到达域（codomain）¹，$B$ 中被线连接到的元素的集合叫做 $f$ 的值域（range）²或像（image），记为 $f(A)$．

　　我们一般将 “$f$ 是从 $A$ 到 $B$ 的映射” 记为

\begin{equation} f:A\to B \end{equation}

也就是说从 $A$ 的元素上拉线到 $B$ 的元素上．有时候，为了表示映射的定义域 $A$ 或到达域 $B$ 是另一个集合的 $S$ 的子集，我们也会将映射记为

\begin{equation} f: A\subseteq S \to B \quad\text{或}\quad f: A \to B \subseteq S \end{equation}

注意映射是有方向区分的，$A$ 中每个元素都有且只有一根线拉出去，但是 $B$ 中的元素可以同时被一根或多根线连接，也可以没有连接（即不在值域中）．

映射的类型

Definition 1　

　　如果映射 $f:A \to B$ 中每个 $B$ 中元素只被 1 根或者 0 根线连接，那么称 $f$ 是一个单射（injection）．如果 $f:A\to B$ 中每个 $B$ 中元素都被至少 1 根线连接，那么称 $f$ 是一个满射（surjection）．如果 $f$ 既是单射又是满射，那么称它为一个双射（bijection），或者叫一一对应（one-to-one correspondence）．

Fig. 1：映射的分类

　　如果 $f:A\to B$ 是一个双射，那么 $A$ 中每一个元素都唯一地连接到 $B$ 中某一个元素，并且 $B$ 中每一个元素也都唯一被 $A$ 中某一个元素所连接，因此很明显可以将这个过程反过来，从 $B$ 中向 $A$ 中拉连接线．另外，如果 $A$ 和 $B$ 存在双射，意味着 $A$ 和 $B$ 的元素数量应该一致³．

　　函数是一种常见的映射，例如 $f(x) = 2x$ 可以看作映射 $f: \mathbb R \to \mathbb R$．但是映射可以从任意集合到任意集合．例如将整数映射到正多边形，将函数的映射到函数或实数（一般把这种映射称为算符）等．

　　注意当一个集合中有无限个元素时，我们有可能在它的子集和它本身之间建立一一映射，例如函数 $ \tan\left(x\right) $ 可以从实轴的开区间 $(-\pi/2, \pi/2)$ 一一映射到整个实轴 $\mathbb R$，又例如我们可以将全体整数 $\mathbb Z$ 乘以二后一一映射到全体偶数 $2\mathbb Z$ 上．这时我们仍然认为这两个集合的元素一样多，虽然直觉上可能不容易接受．

　　 Cantor-Bernstein 定理显示，如果集合 $A$ 到集合 $B$ 上存在一个单射 $f$ 和一个满射 $g$，那么总可以利用 $f$ 和 $g$ 来构造出一个双射．

多元运算

　　有时候我们需要将两个集合 $A, B$ 中任意各取一个元素，然后映射另一个集合 $C$ 中的元素，称为二元运算（binary operation）．我们可以使用笛卡尔积（eq. 2 ）将这个映射表示为

\begin{equation} A \times B \to C \end{equation}

一个简单的例子就是两个实数的的加法减法或乘法可以表示为 $\mathbb R \times \mathbb R \to \mathbb R$（或简记为 $\mathbb R^2 \to \mathbb R$），但除法不可以，因为除数的集合不是 $\mathbb R$ 而是 $\mathbb R$ 去掉 $0$．

　　同理，多元运算可以用多个卡氏积表示为

\begin{equation} A_1 \times \dots \times A_N \to C \end{equation}

例如含有 $N$ 个自变量的函数就是一个 $N$ 元运算．特殊地，$N$ 个相同集合 $A$ 做卡氏积可以简单表示为 $A^N$，例如 $N$ 个有序复数的集合为 $\mathbb C^N$．

相等和拓展

Definition 2　

　　当映射（算符）$f:A\to B$ 和 $g:C\to D$ 的定义域相等（$A = C$）且对任意 $x\in A$ 都有 $fx = gx$，那么我们就说两个映射（算符）相等，记为 $f = g$，否则它们就不相等．

　　注意定义中的 $B, D$ 不需要相等．

Definition 3　

　　若 $A$ 是 $C$ 的子集（$A\subseteq C$），我们就说 $g$ 是 $f$ 的拓展（extension），记为 $f \subseteq g$．特殊地，当 $A$ 是 $C$ 的真子集（$A\subset C$），就记为 $f \subset g$．

恒等映射

Definition 4　

　　若一个集合到它子集的映射 $f:X\to X$ 把任意 $x\in X$ 映射到 $x$ 本身，我们就叫它恒等映射（identity map）或者单位算符（unit operator），通常用 $I$ 或 $E$ 表示．

　　注意对不同集合 $X$，它们的单位算符定义域并不相等，所以它们的单位算符也不相等．

复合映射

Definition 5　

　　给定两个映射 $f:A\to B$ 和 $g:C\to D$，如果 $f$ 的值域 $R$ 是 $g$ 的定义域 $C$ 的一个子集，则可以定义复合映射（composition of maps） $g\circ f: A\to D$，即先将 $A$ 中的元素通过 $f$ 映射到 $R \subseteq C$，再通过 $g$ 映射到 $D$ 的元素．

　　在没有歧义的情况下也可以将 “$\circ$” 省略，尤其是将映射称为算符时．

　　复合映射常见的例子是复合函数，令 $\mathbb R$ 上的函数 $f(x) = \sin x$，$g(x) = x^2$，则复合函数 $g\circ f: \mathbb R \to [0, 1]$ 为 $(g\circ f)(x) = g(f(x)) = \sin^2 x$．

　　根据定义，复合映射满足分配律，令 $f, g, h$ 为映射，则

\begin{equation} h \circ (g \circ f) = (h \circ g) \circ f \end{equation}

映射的乘积

Definition 6　

　　给定两个映射 $f:A\to B$ 和 $g:C\to D$，则可以定义两个映射的乘积（product）为 $f\times g:A\times C\to B\times D$，其中对于任意 $a\in A, b\in B$ 有 $f\times g(a, b)=(f(a), g(b))$．

映射的逆与逆映射

　　先来看简单的情况，如果 $f: A\to B$ 是单射，那么可以把它的逆映射记为 $f^{-1}: B' \to A'$，其中 $B' \subseteq B$ 是 $f$ 的值域，$A'$ 可以是 $A$ 的任意父集．就必须要求 $f$ 为单射，否则若从 $f^{-1}$

未完成：幂集最好另开词条，这里只介绍单射的情况，以及简单介绍一下逆像的概念

　　给定集合 $A, B$，定义 $B^A$ 为 “从 $A$ 到 $B$ 的所有可能的映射所构成的集合”．如果 $B$ 是一个二元集合，即它只有两个元素，不妨记为 $B=\{0,1\}$，那么 $B^A$ 可以用来表示 $A$ 的幂集，即由 $A$ 的所有子集所构成的集合．这是因为对于任意的 $f\in B^A$，我们可以把这个 $f$ 对应到 $A$ 的子集 $S$，其中 $S$ 的元素全都被 $f$ 映射到 1 上，$A-S$ 的元素全都被 $f$ 映射到 0 上．当然，0 和 1 的地位反过来也可以．由于这个特点，我们简单地把 $A$ 的幂集记为⁴ $2^A$.

　　利用映射 $f:A\to B$，可以导出一个映射 $f^{-1}:2^B \to 2^A$，称为映射 $f$ 的逆（inverse）．对于 $B$ 的任意子集 $C$，有

\begin{equation} f^{-1}(C) = \left\{x | x \in A, f(x) \in C \right\} \end{equation}

此时，$f^{-1}(C)$ 称为 $C$ 在 $f$ 下的逆像（inverse image）或原像（preimage）．

　　特别地，和 $f$ 的值域中不相交的 $C$ 被 $f^{-1}$ 映射到空集上，而空集也是 $A$ 的一个子集．如果 $f$ 是一个双射，那么对于任意 $y\in B$，单元素子集 $\{y\}$ 都被 $f^{-1}$ 映射在 $A$ 的某个单元素子集上，那么我们也可以认为此时 $f^{-1}$ 实际上是单个元素映射在单个元素上，也就是从 $B$ 到 $A$ 的映射．

　　如果 $f:A\to B$ 是单射，那么 $f^{-1}$ 总是把单点集映射到单点集上，因此这时我们可以定义 $f^{-1}:B\to A$，使得 $\forall x\in A$ 都有 $f^{-1}(f(x))=x$．特别地，此时我们将 $f^{-1}$ 称为 $f$ 的逆映射（inverse map）⁵．

　　对于双射 $f:A\to B$，显然 $f\circ f^{-1}$ 和 $f^{-1}\circ f$ 都是单位算符（恒等映射）．注意两者的定义域分别为 $A$ 和 $B$，当 $A \ne B$ 时不能写成 $f\circ f^{-1} = f^{-1}\circ f$．如果把 $A$，$B$ 到自身的恒等映射分别记为 $I_A$ 和 $I_B$，那么 $f\circ f^{-1}=I_B$，$f^{-1}\circ f=I_A$．

Example 1　

　　如果取正弦函数 $y = \sin x$ 的值域为 $R = [-1, 1]$ 如果取定义域为 $\mathbb R$，那么它不是一个单射，因为每一个 $y \in R$ 都对应无穷个 $x$，所以不存在反函数．但如果取定义域为 $[-\pi/2, \pi/2]$，那么它是一个单射，存在反三角函数 $\sin^{-1}: [-1, 1] \to [-\pi/2, \pi]$．

　　根据以上定义，$\sin^{-1} ( \sin\left(x\right) )$ 是定义在 $[-\pi/2, \pi/2]$ 上的恒等函数，而 $ \sin\left(\sin^{-1}(x)\right) $ 是定义在 $[-1, 1]$ 上的恒等函数，所以有 $\sin \circ \sin^{-1} \subseteq \sin^{-1} \circ \sin$．

1. ^ 也叫陪域、上域、目标集（target set）
2. ^ 值域在一些文献中指的是到达域．
3. ^ 本书中统一使用这种定义．一些其他教材中也把我们的 “单射” 称为 “一一映射”，把 “满射” 称为 “到上”，把 “双射” 称为 “一一到上”，需要特别小心．
4. ^ 当 $A$，$B$ 都是有限集的时候，$|B^A|=|B|^{|A|}$．特别地，$|2^A|=2^{|A|}$．
5. ^ 注意 “映射的逆” 和 “逆映射” 的区别．映射的逆是子集到子集的映射，而逆映射是点到点的映射．任何映射都有逆，但是只有单射才有逆映射．