旋转矩阵的导数
Prerequisite 圆周运动的速度
，瞬时转轴
，叉乘的矩阵形式
，旋转矩阵
我们来证明含参数 $t$1的旋转矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} (t)$ 的导数 $\dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }$ 满足
\begin{equation}
\dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } = \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}}
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\Omega}} = \begin{pmatrix}
0 & -\omega_z & \omega_y\\
\omega_z & 0 & -\omega_x\\
-\omega_y & \omega_x & 0
\end{pmatrix}
\end{equation}
其中 $(\omega_x, \omega_y, \omega_z)$ 是旋转的瞬时转轴的坐标
2．
证明
我们可以把一个任意的不随 $t$ 变化的列矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _0$ 旋转得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} (t) = \boldsymbol{\mathbf{R}} (t) \boldsymbol{\mathbf{r}} _0
\end{equation}
关于 $t$ 求导得
\begin{equation}
\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \boldsymbol{\mathbf{r}} _0
\end{equation}
令列矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = (\omega_x, \omega_y, \omega_z) ^{\mathrm{T}} $，由
eq. 5 得
\begin{equation}
\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}}
\end{equation}
将叉乘表示为矩阵乘法（
eq. 2 ）得
\begin{equation}
\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} } = \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{r}}
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\Omega}} = \begin{pmatrix}
0 & -\omega_z & \omega_y\\
\omega_z & 0 & -\omega_x\\
-\omega_y & \omega_x & 0
\end{pmatrix} \end{equation}
将
eq. 3 代入
eq. 6 右边，再对比
eq. 4 ，可得
eq. 1 ．证毕．
1. ^ $t$ 不一定表示时间，可以是任意参数
2. ^ 如果使用主动理解，即旋转矩阵将同一个坐标系中的一个矢量旋转后得到另一个矢量．如果使用被动理解，即旋转矩阵将同一个矢量在两个坐标系之间进行变换，则矢量 $(\omega_x, \omega_y, \omega_z)$ 取反方向即可