黎曼积分与勒贝格积分
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- 本词条缺少预备知识，初学者可能会遇到困难．
1我们来定义区间 $[a, b]$ 的实函数 $f(x)$ 的黎曼积分．令有序实数列
\begin{equation}
\mathcal P = \left\{a = x_0 < x_1 < \dots < x_n = b \right\}
\end{equation}
令
\begin{equation}
m_k = \inf_{x_{k-1} \le x \le x_k} f(x) \qquad M_k = \sup_{x_{k-1} \le x \le x_k} f(x) \quad (1 \le k \le n)
\end{equation}
对应的下和上黎曼求和为
\begin{equation}
\underline I(f, \mathcal P) = \sum_{k = 1}^n m_k\Delta k \qquad \bar I(f, \mathcal P) = \sum_{k = 1}^n M_k \Delta_k
\end{equation}
其中 $\Delta_k = x_k - x_{k-1}$，$1\le k\le n$．下和上黎曼积分的定义为
\begin{equation}
\underline I(f) = \sup_{\mathcal P} \underline I(f, \mathcal P) \qquad \bar I(f) = \inf_{\mathcal P} \bar I(f, \mathcal P)
\end{equation}
显然，$\underline I(f) \le \bar I(f)$．$f$ 叫做
黎曼可积（Riemann integrable） 当且仅当上下黎曼积分相等
\begin{equation}
I(f) = \underline I(f) = \bar I(f)
\end{equation}
我们以下用 $I(f)$ 表示黎曼积分，$\int$ 符号表示勒贝格积分．
Theorem 1
任何连续函数 $f \in C[a, b]$ 都是黎曼可积的．
Theorem 2
任何连续函数 $f \in C[a, b]$, 勒贝格积分和黎曼积分相等．
Theorem 3
令 $f$ 为 $[a, b]$ 上的有界实函数，那么 $f$ 是黎曼可积的当且仅当 $f$ 的所有不连续点的勒贝格测度为零．
这样的函数可以在勒贝格测度为零的集合上修改，使其 Borel-measurable，若这样做，勒贝格积分和黎曼积分结果相等．
1. ^ 参考这个讲义．