数学分析笔记

             

　　 本文参考 [8]．

Chap 1. 实数系和复数系

• 有理数（rational number）记为 $Q$，实数记为 $R$
• 虽然任意两个不同的有理数间还有一个有理数，但是有理数集中还是会有 “间隙”，而实数集填补了这些间隙．
• 集合（set）：属于（in） $x \in A$，不属于（not in） $x \notin A$
• 空集（empty set），非空（none empty），子集（subset） $A \subseteq B$，超集（superset） $B \supseteq A$，真子集（proper subset）
• 有序集（ordered set），任意不相等的两个元可以比较大小
• 有上界（bounded above）：任意元小于等于超集中的某个元．上界（upper bound）
• 最小上界（least upper bound，supremem）：$\alpha = \sup E$；最大下界（greatest lower bound，infimum）：$\alpha = \inf E$
• 如果对于任意非空有上界的 $E \subset S$，都有 $\sup E \in S$，那 $S$ 就具有 upper bound property
• 域（field） 集合 $F$ 定义了加法和乘法．加法满足：闭合性，交换律，结合律，存在 0 元，存在逆元．乘法满足：闭合性，交换律，结合律，存在单位元，存在倒数．加法和乘法满足分配律．
• 有理数集是一个域
• 有序域（ordered field）
• 存在一个有序域 $R$ 具有 upper bound property，且有理数集 $Q$ 是其子集．$R$ 就是实数．
• 实数的阿基米德性质：存在整数 $n$ 使 $nx > y$（$x > 0$）
• $x \in R$，$x > 0$，$n$ 为整数，存在实数 $y$ 使 $y^n = x$
• 稠密（dense）: 两个不同的实数间必有一个有理数
• extended real number system 是在实数集基础上加入 $\pm\infty$ 两个符号．对任何实数有 $-\infty < x < +\infty$．所有非空子集都有最小上界和最大下界．相比于无穷，实数集中的元被称为 finite．
• 复数是一对有序实数 $(a, b)$，定义了加法和乘法后，就变成了一个域．定义 $ \mathrm{i} = (0, 1)$．
• 对正整数 $k$，$R^k$ 定义为所有 $k$ 个有序实数的集合 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} = (x_1, \dots, x_k)$，其中 $x_i$ 叫做坐标．
• 定义 $R^k$ 中的内积为 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{y}} = \sum_{i = 1}^k x_i y_i$
• 定义模长为 $ \left\lvert x \right\rvert = ( \boldsymbol{\mathbf{x}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{x}} )^{1/2}$
• 定义了内积和模长的 $R^k$ 被称为欧几里得 $k$ 空间（euclidean k-space）．这也是一个度量空间（metric space）（见下文）．通常 $R^1$ 叫做线，$R^2$ 叫做面

Chap 2. 基本拓扑

• 函数是两个集合 $A$，$B$ 之间的映射；定义域，值域，值．$f(A)$ 就是集合 $A$ 的 image；$f(A) \subset B$．如果 $f(A) = B$，那么 $f$ 把 $A$ 映射到（onto）$B$．$f^{-1}(E)$ inverse image．1-1 映射
• 如果 $A$ 到 $B$ 存在 1-1 映射，记为 $A \sim B$：reflexive $A \sim A$，symmetric $A \sim B \to B \sim A$，transitive $A \sim B, B \sim C \to A \sim C$
• 定义 $J_n$ 为集合 $1,2,\dots, n$，定义 $J$ 为 $1, 2, \dots$
• $A \sim J_n$ 为有限（finite），不是有限就是无限（infinite），$A \sim J$ 为可数（countable）¹．至多可数（at most countable） 就是有限或者可数
• 对无限集来说，“含有有限个元” 很模糊，但是 1-1 映射的定义仍然有效（只要写出一个表达式）
• 有限集不可能与真子集等效，而无限集可以
• 数列是 $J$ 的映射 $f(n) = x_n$，记为 $\{x_n\}$．$x_n$ 叫做一项．如果 $x_n \in A$，那该序列就叫 $A$ 中（元素）的序列．
• 可数集的无穷子集仍然是可数的
• Sequence of set $\{E_\alpha\}$，每个 $\alpha \in A$ 都对应一个 $E_\alpha$（其实就是 set of sets，但不这么叫）
• 并集（Union）：$\bigcup\limits_{m = 1}^n E_m$，交集（intersection）：$\bigcap\limits_{m = 1}^n E_m$
• 并集和交集的混合运算法则和加法和乘法差不多
• 如果 $E_n\ (n = 1, 2\dots)$（无穷多个）是可数的，那么它们的 union 仍然是可数的
• 如果 $A$ 是 at most countable，且对 $\alpha \in A$，$B$ 也是 at most countable，那么 $T = \bigcup_{\alpha \in A} B_\alpha$ 也是 at most countable
• 如果 $A$ 可数，$a_i \in A$， 而 $B_n$（$n$ 为固定的正整数）是所有 $(a_1, \dots, a_n)$ 的集合，那么 $B_n$ 也是可数的
• 自然数和有理数（可以看作两个有序整数）都可数，无理数不可数
• 如果集合 $X$ 中的元素可以叫做点（point），如果一个值为实数的函数 $d(p, q), \ p \in X,\ q \in X$ 满足：当 $p = q$，$d(p, q) = 0$，当 $p \ne q$，$d(p, q) > 0$，$d(p, q) = d(q, p)$，$d(p, q) \leqslant d(p, r) + d(r, q)$，$r \in X$，我们就说这是一个度量空间（metrix space），函数 $d$ 叫做距离函数（distance function），或者度规（metric）
• segment $(a, b)$ 是所有 $a < x < b$ 的实数，interval $[a, b]$ 是所有 $a \leqslant x \leqslant b$ 的实数．
• interval 也叫 1-方格，类似地，$R^k$ 中可以定义 k-方格（k-cell），2-方格是长方形
• 类似地，$R^k$ 空间也可以定义 开/闭球（open/closed ball）
• convex：$E \subset R^k$ 对任意 $0 < \lambda < 1$ 满足 $\lambda \boldsymbol{\mathbf{x}} + (1 - \lambda) \boldsymbol{\mathbf{x}} \in E$．例如，ball 和 k-方格都是 convex 的．
• 度量空间中，邻域（neighborhood） $N_r$：到某点距离小于 $r$ 的集合（$r > 0$）
• 极限点（limit point） $p$：所有邻域存在一个与 $p$ 不同的点（无论半径有多小）
• 如果不是极限点，那就是 孤立点（isolated point）
• 如果所有极限点都属于集合，这个集合就是闭（closed）的．
• 如果关于点 $p$ 的某个邻域是集合 $E$ 的子集，$p$ 就是 $E$ 的内点（interior point）
• 如果 $E$ 中的任意一点都是内点，$E$ 就是 开（open） 的
• 补集（complement）
• 如果一个闭集合中每一点都是它的极限点，那么该集合就是完全（perfect） 的
• 如果集合中任意一点都在某个 $r$ 为实数的邻域内，这个集合就是 有界的（bounded）
• 集合 $E$ 在集合 $X$ 上稠密（dense）：$X$ 中任意一点都是 $E$ 的一个极限点或者 $E$ 中的一点．（例如有理数在实数上稠密）
• 任何邻域都是开的
• 如果 $p$ 是一个极限点，那么它的任何邻域都有无限多个点
• 有限个点的集合没有极限点
• $(\bigcup_\alpha E_\alpha)^c = \bigcap_\alpha (E_\alpha^c)$ 其中 $c$ 代表补集
• 集合 $E$ 是开的当且仅当它的补集是闭的．$E$ 是闭的当且仅当它的补集是开的．
• 任意多开集合的并集仍然是开的，任意多闭集合的交集仍然是闭的
• 有限个开集合的交集仍然是开的，有限个闭集合的并集仍然是闭的
• 设 $X$ 是度量空间，如果 $E \subset X$，$E'$ 表示 $E$ 在 $X$ 中所有极限点组成的集．那么，把 $\bar E = E \cup E'$ 叫做 $E$ 的闭包（closure）
• 设 $X$ 是度量空间，而 $E \subset X$，那么 (a) $\bar E$ 是闭的，(b) $E = \bar E$ 当且仅当 $E$ 闭，(c) 如果闭集 $F \subset X$ 且 $E \subset F$，那么 $\bar E \subset F$．由 (a) 和 (c)，$E$ 是 $X$ 中包含 $E$ 的最小闭子集
• 设 $E$ 是一个不空实数集，上有界，令 $y = \sup E$，那么 $y \in \bar E$． 因此，如果 $E$ 闭，那么 $y \in E$.
• 令 $Y \subset X$，$E \subset Y$，$E$ 是开的当且仅当 $E = Y \bigcap G$，对某个 $G \subset X$
• 若 $X$ 的一组开子集 $\{G_\alpha\}$ 使 $E \subset \bigcup_\alpha G_\alpha$，那么 $\{G_\alpha\}$ 就是 $E$ 的开覆盖（open cover）
• 紧集（compact set）：如果 $\{G_\alpha\}$ 是 $K$ 的开覆盖，那么存在有限个 $\alpha_1,\dots, \alpha_n$ 使得 $K \subset G_{\alpha_1} \bigcup \dots \bigcup G_{\alpha_n}$
• 有限集都是紧集
• 如果 $E \subset Y \subset X$，那么 $E$ 可能是 $Y$ 中的开区间而不是 $X$ 的开区间．
• 假设 $K \subset Y \subset X$. 那么 $K$ 在 $X$ 中是紧的当且仅当它在 $Y$ 中也是紧的．
• 度量空间的紧子集是闭的
• 紧集的闭子集也是紧的
• 如果 $F$ 是闭的且 $K$ 是紧的，那么 $F \bigcap K$ 是紧的
• 如果 $\{K_\alpha\}$ 是度量空间 $X$ 的一组紧子集且任意有限个 $\{K_\alpha\}$ 的交集为非空，那么 $\bigcap K_\alpha$ 也是非空的
• 如果 $E$ 是紧集 $K$ 的无穷子集，那么 $E$ 在 $K$ 中存在极限点
• 如果 $\{I_n\}$ 是 $R^1$ 中的一组区间，使得 $I_n \supset I_{n+1} (n = 1, 2, 3,\dots)$，那么 $\bigcap_1^\infty I_n$ 非空
• k-方格是紧的
• 对 $R^k$ 中的集合 $E$，这三个条件等价：(a) $E$ 闭且有界．(b) $E$ 是紧的．(c) $E$ 中的任意无限集在 $E$ 中存在极限点
• $R^k$ 中任何有界的无限集在 $R^k$ 中有（至少）一个极限点
• 令 $P$ 为 $R^k$ 内的非空完全集．那么 $P$ 是不可数的
• The Cantor set shows that there exist perfect sets in $R^1$ which contain no segment.
• Two subsets $A$ and $B$ of a metric space $X$ are said to be separated if both $A \cap \bar B$ and $\bar A \cap B$ are empty, i.e., if no point of $A$ lies in the closure of $B$ and no point of $B$ lies in the closure of $A$.
• A subset $E$ of the real line $R^1$ is connected if and only if it has the following property: If $x \in E$, $y \in E$, and $x < z < y$, then $z \in E$.

Chap 3. 数列与级数

• A sequence $\{p_n\}$ in a metric space X is said to converge if there is a point $p \in X$ with the following property: For every $\epsilon > 0$ there is an integer $N$ such that $n \geqslant N$ implies that $d(p_n, p) < \epsilon$. (Here $d$ denotes the distance in X.) In this case we also say that $\{p_n\}$ converges to $p$, or that $p$ is the limit of $\{p_n\}$ and we write $p_n \to p$, or $\lim_{n\to \infty} p_n = p$.
• the set of all points $p_n$ is the range of $\{p_n\}$. The range of a sequence may be a finite set, or it may be infinite. The sequence $\{p_n\}$ is said to be bounded if its range is bounded.

　　

Chap 4. 连续性

Chap 5. 微分法

Chap 6. Riemann-Stieltjes 积分

Chap 7. 函数序列与函数项级数

Chap 8. 一些特殊函数

Chap 9. 多元函数

Chap 10. 微分形式的积分

Chap 11. Lebesgue 理论

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1. ^ 也叫 enumerable 或者 denumerable