Prerequisite 刚体的平面运动方程
，惯性张量
一般情况下下刚体的运动方程要比平面运动复杂许多，但我们仍然可以将运动分解为质心的运动以及刚体绕质心的旋转，前者由合力决定，所以仍然有（eq. 1 ）
\begin{equation}
M \boldsymbol{\mathbf{a}} _c = \sum_i \boldsymbol{\mathbf{F}} _i
\end{equation}
所以相对于平面运动，该问题的困难在于绕质心转动的计算．虽然角动量定理仍然满足，但转动惯量将有可能随时间变化．这是因为刚体的瞬时转轴相对刚体的位置可能会随时间变化，而不同的转轴对应的角动量一般不同．
下面我们会看到，刚体绕固定点转动的角动量定理可以记为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \boldsymbol{\mathbf{I}} \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}}
\end{equation}
对比平面运动的
eq. 2 ，转动惯量变为了惯性张量，且多了一项角速度叉乘角动量．当二者共线时，叉乘为零，就回到了平面运动的式子．
转动方程
我们仍然可以用角动量定理来推导刚体的转动方程，但这里的角动量要用惯性张量来表示（eq. 1 和eq. 6 ）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{L}} = \boldsymbol{\mathbf{I}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}}
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} _0$ 不随时间变化，$ \boldsymbol{\mathbf{L}} $，$ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 都是时间的函数．代入角动量定理（
eq. 1 ）得
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\tau}} = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{L}} }}{\mathrm{d}{t}} = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{I}} }}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} + \boldsymbol{\mathbf{I}} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }}{\mathrm{d}{t}}
= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} ) \boldsymbol{\mathbf{\omega}} + \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }}{\mathrm{d}{t}}
\end{equation}
其中 $ \mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }/\mathrm{d}{t} $ 是角加速度，记为 $ \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} $，角速度和角加速度的关系可以类比速度和加速度
．另外注意这里对矩阵求导就是对每个元分别求导．
我们把力矩 $ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $ 看作是一个关于时间的已知函数，把旋转矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 和角速度 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 看做关于时间的未知函数（即微分方程的解）．$ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 完整描述了刚体绕固定点转动的状态，就像位置和动量可以完整描述了一个质点运动的状态．
另外，$ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 之间的关系就速度和位移的关系，假设体坐标系中固定在刚体上的任意一点坐标为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $（不随时间变化），变换到实验室坐标系中为 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{r}} $．对时间求导得该点在实验室坐标系的速度为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{r}}
\end{equation}
而角速度和速度之间有 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{r}} )$（
eq. 5 ）．我们可以把叉乘用矩阵乘法表示为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{v}} = \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{r}}
\end{equation}
其中
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\Omega}} = \begin{pmatrix}0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x\\ -\omega_y & \omega_x & 0\end{pmatrix}
\end{equation}
是一个反对称矩阵，即
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{\Omega}} ^{\mathrm{T}} = - \boldsymbol{\mathbf{\Omega}}
\end{equation}
由于 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 是任意的，对比
eq. 5 和
eq. 6 得
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}}
\end{equation}
现在我们可以化简eq. 4 右边第一项，根据链式法则和eq. 9 ，eq. 8
\begin{equation}
\begin{aligned}
\frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{I}} }}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} ( \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} ) \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \\
&= \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }}{\mathrm{d}{t}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} + \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \left( \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }}{\mathrm{d}{t}} \right) ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \\
&= \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} + \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \\
&= \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} - \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \\
&= \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \\
&= \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}}
\end{aligned}
\end{equation}
其中使用了 $ \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $．所以
eq. 4 变为
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\mathbf{\tau}} &= \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{L}} + \boldsymbol{\mathbf{I}} \boldsymbol{\mathbf{\alpha}} \\
&= \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} + \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }}{\mathrm{d}{t}}
\end{aligned}
\end{equation}
整理得（注意 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} $ 得逆矩阵是 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0^{-1} \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} $，$ \boldsymbol{\mathbf{I}} _0^{-1}$ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} _0$ 的逆矩阵）
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0^{-1} \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \left( \boldsymbol{\mathbf{\tau}} - \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \right)
\end{equation}
和
eq. 12 就是完整的绕质心转动方程．这是一个一阶常微分方程组
，写成标量的形式共有 12 条，未知数分别为 $\omega_x, \omega_y, \omega_z$，$R_{i,j}$ 共 12 个．
事实上旋转矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 其实只有三个独立的自由度，如果我们能用三个变量表示 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $，就可以得到只含 6 个未知数的 6 个方程．一种方法是使用欧拉角，但列出来后式子会比较复杂．另一种方法是用 4 元数，即用 4 个变量表示 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $，可以得到形式相对简单的方程，见 “刚体运动方程（四元数）”．