刚体运动方程（四元数）
Prerequisite 刚体的运动方程
，四元数与旋转矩阵
我们用四元数 $ \boldsymbol{\mathbf{q}} $ 和角速度 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $（共 7 个标量）来表示刚体绕固定点旋转的运动状态．下面来列运动方程（7 元一阶微分方程组）．
eq. 10 中已经给出了 4 条（$ \boldsymbol{\mathbf{q}} $ 关于时间的导数）
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{q}} }}{\mathrm{d}{t}} = \frac12 [0, \boldsymbol{\mathbf{\omega}} ] \boldsymbol{\mathbf{q}}
\end{equation}
而之前的eq. 12 给出了另外 3 条（$ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 关于时间的导数）
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} }}{\mathrm{d}{t}} = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0^{-1} \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \left( \boldsymbol{\mathbf{\tau}} - \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{I}} _0 \boldsymbol{\mathbf{R}} ^{\mathrm{T}} \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \right)
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{I}} _0$ 是体坐标系中的惯性张量，$ \boldsymbol{\mathbf{R}} $ 是体坐标系到实验室坐标系的旋转矩阵，$ \boldsymbol{\mathbf{\tau}} $ 是力矩（已知）．注意现在我们可以用四元数 $ \boldsymbol{\mathbf{q}} $ 表示 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} $（
eq. 6 ）．这样就得到了所有的运动方程．
用数值计算来解这个方程见 “刚体转动数值模拟”．