通常我们说 “波” 时，它几乎可以是任意形状的，例如一个波包．但我们先来讨论一种最简单的波动，叫做简谐波（sinusoidal wave），在任意时刻，它在传播方向的波形是一个正弦函数，范围是无穷大．简谐波也叫平面波（plane wave），本书对这两个词不加区分．叫平面波是因为三维平面波的等相位面（见下文）都是平面，但其他维度习惯上也可以使用这个词，这在量子力学中较常见1．
一维情况
我们先来看一个一维的平面波，一个常用的例子是一根无限长的弦，静止的时候弦与 $x$ 轴重合，在任何时刻 $t$，弦的波函数（即形状）可以用 $y(x, t)$ 来描述．若
\begin{equation}
y(x, t) = A \cos\left(k x - \omega t + \phi_0\right)
\end{equation}
则我们把这个波函数称为
平面波，如
fig. 1 所示
2．
Fig. 1：平面波
我们定义图中的 $A$ 为振幅，定义一个空间周期为波长（wave length），记为 $\lambda$．与波长一一对应的一个量是eq. 1 中的 $k$，称为波数（wave number）．波长与波数的关系可以类比简谐振子 的角频率 $\omega$ 与时间周期 $T$ 的关系，即
\begin{equation}
k = \frac{2\pi}{\lambda}
\end{equation}
我们再来看波函数随时间的变化，如果在弦的某个位置做一个标记并观察其运动，则eq. 1 中 $x$ 可视为常数，我们立即得到一个简谐振动，角频率为 $\omega$，初相位为3 $-kx - \phi_0$．
我们在观察平面波的时候，通常会想象它在移动（虽然弦上每个点的 $x$ 坐标并不改变），我们把这种移动的速度叫做波速（wave velocity） $v$．把eq. 1 稍作整理得
\begin{equation}
y(x, t) = A\cos \left[k \left(x - \frac{\omega}{k} t \right) + \phi_0 \right]
\end{equation}
由于函数 $f(x - x_0)$ 可以看做 $f(x)$ 向 $x$ 轴正方向平移 $x_0$ 得到的函数，上式也可以看做 $t = 0$ 时刻的波函数向 $x$ 轴正方向平移 $\omega t/k$ 得到的波函数．将平移距离除以 $t$ 就得到了单位时间移动的距离，即波速
\begin{equation}
v = \frac{\omega}{k}
\end{equation}
如果将 $\omega = 2\pi/T$ 和 $k = 2\pi/\lambda$ 代入上式，得到波速的另一个表达式
\begin{equation}
v = \frac{\lambda}{T}
\end{equation}
这里的 $T$ 是振动周期．也可以令振动频率 $f = 1/T$，则上式又变为
\begin{equation}
v = \lambda f
\end{equation}
横波与纵波
以上我们看到的波函数表示横波，即质点振动的方向与波的传播方向垂直．与横波相对的另一类波叫做纵波，即质点振动方向与波的传播方向相同．纵波的波函数与横波相同，只是函数值的意义由垂直方向的位移改为了平行方向的位移（不妨记为 $\xi$）
\begin{equation}
\xi = A \cos\left(k x - \omega t + \phi_0\right)
\end{equation}
广义来说，振幅可以是一个任意方向的矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $，它可以既不平行也不垂直于传播方向．
二维和三维的平面波
Fig. 2：二维平面波
如fig. 2 ，我们可以用函数 $z(x,y,t)$ 表示一个二维的平面波（横波）．波长的定义与一维情况相同，在 $k = 2\pi/\lambda$ 的基础上，我们定义波矢 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 的方向为波速的方向．
观察图中的波可以发现，沿波矢方向移动 $l$，相位变化为 $kl$，沿垂直波矢方向移动 $l$，相位不改变，沿任意其他方向移动 $l$，相位变化为 $kl\cos\theta$，其中 $\theta$ 是移动方向与 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 方向的夹角．垂直于波矢的任意直线就是二维平面波的等相位面（线）．我们可以用内积来表示相位随空间的变化
\begin{equation}
\Delta\phi = \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \Delta \boldsymbol{\mathbf{r}} = k_x \Delta x + k_y \Delta y
\end{equation}
于是我们可以写出波函数为
\begin{equation}
z = A \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t + \phi_0\right)
\end{equation}
要表示纵波，同样把 $z$ 换位 $\xi$ 即可．
类似地，三维空间中的平面波可表示为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{s}} = \boldsymbol{\mathbf{A}} \cos\left( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t + \phi_0\right)
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 是三维矢量．注意这里的 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 表示介质静止时某质点的位矢．如果波函数表示横波，矢量振幅 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 必须垂直于波矢 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $，其方向叫做
极化方向．如果波函数表示纵波，$ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 必须与 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} $ 同向．
波函数的复数表示
用复数表示波函数，往往可以化简书写和计算．类比eq. 3 ，我们可以把平面波表示为指数形式4
\begin{equation}
\tilde { \boldsymbol{\mathbf{s}} } = \boldsymbol{\mathbf{A}} \mathrm{e} ^{ \mathrm{i} ( \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} - \omega t + \phi_0)}
\end{equation}
注意只有实部表示质点的位移，虚部无物理意义．
未完成：平面波的叠加？波包分解成平面波？相速度？群速度？
1. ^ 见几乎任意一本常见量子力学入门教材
2. ^ 需要注意的是，图中的横轴是位置 $x$ 而不是时间 $t$，要避免将质点振动的位移—时间图与该图混淆．
3. ^ 由于余弦函数是偶函数，我们不妨将 $\cos$ 的自变量取相反数使 $\omega t$ 的符号为正．
4. ^ 现在我们知道为什么振动的指数形式中 $\omega t$ 要带一个负号了，这样就可以让波动的指数形式中 $ \boldsymbol{\mathbf{k}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 项为正．
