小角正弦极限

Prerequisite　极限

　　这里要介绍的是一个很显然的几何问题，然而它在高等数学和物理中却非常频繁地出现．

　　设平面上 $O$ 点为圆心，以 $R$ 作为半径画圆．取一段的圆心角为 $\theta $ 的圆弧 $AB$（令长为 $l$），并作线段 $AB$（如fig. 1 ）．

Fig. 1：单位圆中，随着角度不断减小，弧长与线段长度的相对误差也不断减小

　　由弧长公式得

\begin{equation} l = R\theta \end{equation}

线段 $AB$ 的长度为

\begin{equation} AB = 2R\sin \frac{\theta }{2} \end{equation}

显然弧长 $l$ 大于线段长度 $AB$（两点之间直线最短），但从图中可以看出随着 $\theta $ 越来越小，二者的相对误差（$E$）越来越小．用极限的语言来说，就是当 $\theta $ 趋近于 $0$ 时，它们的比值趋近于１．注意这只是一个经验上的总结，证明参考任意高等数学教材．

　　所以有

\begin{equation} 1=\lim_{\theta\to 0} \frac{AB}{l} = \lim_{\theta\to 0} \frac{2R \sin\left(\theta/2\right) }{R\theta} = \lim_{\theta\to 0}\frac{ \sin\left(\theta/2\right) }{\theta/2} \end{equation}

令 $x = \theta/2$，有

\begin{equation} \lim_{\theta\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \end{equation}

　　这是一个非常重要的极限．在物理中，我们常常会就某个小角使用近似 $\sin x \approx x$，例如 “单摆” 以及 “双缝干涉”．严格来说，这是一个一阶近似，$x$ 就是 $\sin x$ 的泰勒展开（eq. 3 ）的第一项．