极限

数列的极限

　　先来看一个数列的例子．

Example 1　

　　我们都知道 $\pi$ 是一个无理数，所以 $\pi$ 的小数部分是无限多的．目前用计算机，已经可以将 $\pi$ 精确地计算到小数点后数亿位．然而在实际应用中，往往只用取前几位小数的近似即可．下面给出一个数列，定义第 $n$ 项是 $\pi$ 的前 $n$ 位小数近似（不考虑四舍五入），即

\begin{equation} a_0 = 3,\,\, a_1 = 3.1,\,\, a_2 = 3.14,\,\, a_3 = 3.141,\,\dots. \end{equation}

　　这个数列显而易见的性质，就是当 $n$ 趋于无穷时，$a_n$ 趋（近）于 $\pi$．无穷通常用符号 $\infty$ 来表示（像 “8” 横过来写）．我们把这类过程叫做极限．以上这种情况，用极限符号表示，就是

\begin{equation} \lim_{n \to \infty } {a_n} = \pi \end{equation}

这里 $\lim$ 是极限（limit）的意思，下方用箭头表示某个量变化的趋势．$\lim\limits_{n \to \infty }$ 在这里相当于一个 “操作”，叫算符（operator），$a_n$ 是其作用的对象（相当于函数的自变量）．算符的 “输出” 就是一个数（$a_n$ 的极限值）．所以不要误以为这条式子是说当 $n \to \infty$ 时，$a_n=\pi$（$a_n$ 是有理数，$\pi$ 是无理数，等式恒不成立），而要理解成 $a_n$ 经过算符 $\lim\limits_{n \to \infty }$ 的作用以后，得出其极限是 $\pi$．类比函数 $\sin x = y$，并不是说 $x=y$，而是说 $x$ 经过正弦函数作用后等于 $y$．

　　所以从概念上来说，极限中的 “趋于” 和 “等于” 是不同的．趋于更强调变化的过程．趋于的意思可以粗略理解为

越来越接近，但不一定相等
（在不相等的情况下）只有更近，没有最近

　　对极限来说，第 2 点成立是非常必要的．但是怎样能说明 “没有最近” 呢？可以看出，当 $n$ 越大，$a_n$ 越接近 $\pi$，它们的 “距离”，可以用 $ \left\lvert a_n - \pi \right\rvert $ 来表示．也就是说，对任何一个 $a_n$，如果所对应的距离 $ \left\lvert a_n - \pi \right\rvert \ne 0$，总能找到一个更大的数 $m > n$，使 $ \left\lvert a_m - \pi \right\rvert < \left\lvert a_n - \pi \right\rvert $（更近），并且要求之后的所有项都能满足这一条件．只有这样，才能从数学上说明上面两个意思．这就是极限思想的精髓．根据这个思想，下面可以写出数列极限的定义．

　　 数列极限的定义：对于任意给定的 $\varepsilon$（无论它有多么小），总存在 $N$，当 $n > N$ 时，就有 $ \left\lvert a_n - A \right\rvert < \varepsilon$（$A$ 为常数）成立，那么数列 $a_n$ 的极限就是 $A$．

　　在命题中，通常把 “任意” 用 “ $\forall$”（for all）表示，把 “存在” 用 “$\exists $”（there exist(s), there is (are)）表示．即 “ 对 $\forall \varepsilon$，$\exists N$，当 $n > N$ 时，有 $ \left\lvert a_n - A \right\rvert < \varepsilon$”．

　　由于以上讨论中 lim 作用的对象是数列，那么箭头右边只能是 $\infty$（准确来说应该是正无穷 $+\infty$，但是由于数列的项一般是正的，所以正号省略了）．

　　把定义套用到上面的例一中，如果要求 $ \left\lvert a_n - \pi \right\rvert < 10^{-3}$（给定 $\varepsilon = 10^{-3}$），只要令 $N=3$（当然也可以令 $N=4, N=5$，等）就可以保证第 $N$ 项后面所有的项都满足要求．一般地如果给定 $\varepsilon = b \times 10^{-q} (b > 1)$，就令 $N = q$，第 $N$ 项以后的项就满足要求．这就从定义直接证明了 $\lim\limits_{n \to \infty } a_n = \pi$．

函数的极限

　　类比数列的极限，我们也可以定义函数在正无穷的极限 $\lim\limits_{x\to +\infty} f(x) = A$，即 “ 对 $\forall \varepsilon$，$\exists X$，当 $x > X$ 时，有 $ \left\lvert f(x) - A \right\rvert < \varepsilon$”．

　　与数列不同的是，对于函数我们还可以定义函数在负无穷的极限 $\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)$（把以上定义的 $ > $ 号改成 $ < $ 号即可）．

　　另外可以定义 $f(x)$ 在 $x_0$ 处的极限 $A$，即 “ 对 $\forall \varepsilon > 0$，$\exists \delta > 0$，当 $ \left\lvert x - x_0 \right\rvert < \delta$ 时，有 $ \left\lvert f(x) - A \right\rvert < \varepsilon$”．注意 $f(x)$ 不需要在 $x_0$ 处有定义．

Example 2　

　　求函数在某个值处的极限时，通常可以直接代入数值计算，如

\begin{equation} \lim_{x\to 1} 2x + 1 = 3 \qquad \lim_{x\to 2}\frac{x + 1}{x + 2} = \frac34 \end{equation}

　　当无穷大与常数相加时，可以忽略常数，如

\begin{equation} \lim_{x\to +\infty} \frac{x + 1}{2x + 2} = \lim_{x\to +\infty} \frac{x}{2x} = \frac12 \end{equation}

无穷小的阶

　　如果令 $x\to 0$，我们就说 $x$ 是无穷小．但一些无穷小会更快地趋近于 $0$，若 $x$ 的某个函数 $\alpha(x)$ 满足

\begin{equation} \lim_{x\to 0} \frac{\alpha(x)}{x} = 0 \end{equation}

那 $\alpha(x)$ 就是 $x$ 的高阶无穷小．若

\begin{equation} \lim_{x\to 0} \frac{\alpha(x)}{x^n} \ne 0 \end{equation}

则称 $\alpha(x)$ 为 $x$ 的 $n$ 阶无穷小．例如，$c x^n$（$c$ 为常数）就是 $x$ 的 $n$ 阶无穷小，记为 $ \mathcal{O}\left(x^n \right) $．

　　在求极限时，若高阶无穷小与低阶无穷小相加，通常可以忽略高阶无穷小．另外由定义不难推出

\begin{equation} \mathcal{O}\left(x^n \right) x^m = \mathcal{O}\left(x^{n + m} \right) \qquad (m > -n) \end{equation}

　　在物理中，当我们用一个函数 $g(x)$ 来近似另一个函数 $f(x)$ 并记为 $f(x) = g(x) + \mathcal{O}\left(h^n \right) $ 时（这里 $x$ 是函数的自变量，$h$ 是函数表达式中一个较小的常数），就说 $g(x)$ 的误差为 $ \mathcal{O}\left(h^n \right) $．