自然对数底

Prerequisite　极限

　　微积分中有一个重要的极限，极限值是一个无理数，叫做自然对数底，记为¹ $ \mathrm{e} $．

\begin{equation} \mathrm{e} \equiv \lim_{x \to 0} (1 + x)^{\frac{1}{x}} = 2.71828\dots \end{equation}

$ \mathrm{e} $ 也可以用无穷级数表示为

\begin{equation} \mathrm{e} = \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n!} = 1 + 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{6} + \dots \end{equation}

数值验证

　　这里先用数值的方法验证eq. 1 ，首先我们可以画出 $(1+x)^{1/x}$ 在原点附近的函数图，注意当 $x = 0$ 时，该函数无定义，但这并不妨碍极限的存在．可以看到，无论 $x$ 从左边还是右边趋近于原点（即左极限和右极限），结果都相等．

Fig. 1：$(1+x)^{1/x}$ 的函数图

　　 tab. 1 用数值计算验证eq. 1 的右极限．

Tab. 1：极限 $ \mathrm{e} $ 数值验证（保留 6 位有效数字）

$x$	$10^{-1}$	$10^{-2}$	$10^{-3}$	$10^{-4}$	$10^{-5}$	$10^{-6}$
$(1 + x)^{1/x}$	$2.59374$	$2.70481$	$2.71692$	$2.71815$	$2.71827$	$2.71828$

　　以 $ \mathrm{e} $ 为底的对数函数 $\log_{ \mathrm{e} } x$ 叫做自然对数，通常记为

\begin{equation} \ln x \qquad \text{或} \qquad \log x \end{equation}

函数图如fig. 2 ．

Fig. 2：几种不同底的对数函数

1. ^ 为了与其他变量区分，本书使用正体字母表示自然对数底．