Theorem 1
1令 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 为无散场，即
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{F}} = 0
\end{equation}
则 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 总能表示为另一个矢量场 $ \boldsymbol{\mathbf{G}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 的旋度，即
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{G}}
\end{equation}
且 $ \boldsymbol{\mathbf{G}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 可以通过以下公式计算：
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{G}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ) = \frac{1}{4\pi}\int \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \boldsymbol\times \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \,\mathrm{d}{V'}
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{G}} $ 通常被称为
矢势（vector potential），$ \boldsymbol{\mathbf{r}} , \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 分别是坐标原点指向三维直角坐标 $(x, y, z)$ 和 $(x', y', z')$ 的位置矢量，$ \boldsymbol{\mathbf{R}} = \boldsymbol{\mathbf{r}} ' - \boldsymbol{\mathbf{r}} $，$R = \left\lvert \boldsymbol{\mathbf{R}} \right\rvert $，体积分 $\int \,\mathrm{d}{V'} = \int \,\mathrm{d}{x'} \,\mathrm{d}{y'} \,\mathrm{d}{z'} $ 的区域是空间中 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 不为零的区域，$ \boldsymbol\times $ 表示矢量叉乘
．
该定理在电动力学中有两个重要的应用：一个是证明比奥萨法尔定律满足安培环路定理，另一个是证明磁矢势 $ \boldsymbol{\mathbf{A}} $ 必定存在（因为磁场是无散场）．
Corollary 1
在thm. 1 中，给 $ \boldsymbol{\mathbf{G}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 加上任意一个无旋场 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$（满足 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{H}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $），也能使eq. 2 成立．通过这种方法可以得到eq. 2 中所有可能的 $ \boldsymbol{\mathbf{G}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$．
注意 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} $ 也可以表示为任意标量函数 $V( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 的梯度 $ \boldsymbol\nabla V$（引用未完成）．
我们可以认为eq. 3 是旋度运算的逆运算，这可以类比不定积分是求导的逆运算．而无旋场 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 可以类比不定积分中的任意常数．散度也有类似的逆运算．
Theorem 2
令 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 为无散场，则eq. 3 得到的 $ \boldsymbol{\mathbf{G}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 仍然是一个无散场．
显然，给 $ \boldsymbol{\mathbf{G}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 加上一个任意的无散场 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 后仍然是一个无散场．若需要满足eq. 2 ，则 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 必须也是无旋的，即 $ \boldsymbol{\mathbf{H}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )$ 是调和场．
我们已经知道一个矢量场无论求几次旋度，都一直是无散场．而这个定理告诉我们任意无散场无论求几次 “逆旋度” 也都可以是无散场．
证明定理 1
我们只需要证明eq. 3 右边第一项求旋度等于 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $，使用eq. 6 （展开的四项中对 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 微分的两项为零，因为 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 的函数）：
\begin{equation}
\begin{aligned}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{G}} &= \frac{1}{4\pi}\int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \left( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\times \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \right) \,\mathrm{d}{V'} \\
&= \frac{1}{4\pi}\int \boldsymbol{\mathbf{F}} \left( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \right) \,\mathrm{d}{V'} - \frac{1}{4\pi}\int( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \,\mathrm{d}{V'}
\end{aligned}
\end{equation}
其中第一个等号是因为 “对一个变量积分” 再 “对另一个变量求导” 这两个操作可以交换．
先来证明上式第二项为零：被积函数中的 $x$ 分量为（$ \boldsymbol\nabla '$ 意味着对 $x', y', z'$ 求偏导，另外注意 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 的函数）
\begin{equation}
\begin{aligned}
( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \boldsymbol\nabla ) \frac{x' - x}{ \left\lvert x'-x \right\rvert ^3} &= \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \left( \boldsymbol\nabla \frac{x' - x}{ \left\lvert x'-x \right\rvert ^3} \right) = - \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \left( \boldsymbol\nabla ' \frac{x' - x}{ \left\lvert x'-x \right\rvert ^3} \right) \\
&= - \boldsymbol\nabla ' \boldsymbol\cdot \left( \boldsymbol{\mathbf{F}} \frac{x' - x}{ \left\lvert x'-x \right\rvert ^3} \right) + ( \boldsymbol\nabla ' \boldsymbol\cdot \boldsymbol{\mathbf{F}} ) \frac{x' - x}{ \left\lvert x'-x \right\rvert ^3}
\end{aligned}
\end{equation}
这里使用了
eq. 3 ．由于 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ')$ 是无散场，最后一项为零．$y, z$ 分量同理．对上式做体积分得（使用散度定理
eq. 13 ）
\begin{equation}
- \int \boldsymbol\nabla ' \boldsymbol\cdot \left( \boldsymbol{\mathbf{F}} \frac{x' - x}{ \left\lvert x'-x \right\rvert ^3} \right) \,\mathrm{d}{V'} = -\oint \boldsymbol{\mathbf{F}} \frac{x' - x}{ \left\lvert x'-x \right\rvert ^3} \,\mathrm{d}{ \boldsymbol{\mathbf{s}} }
\end{equation}
积分曲面是体积分区域的边界曲面．由于我们假设 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 只有在体积分内部（不包括边界）不为零，所以该式为零．
再来看eq. 4 右边第一项，有（引用未完成）
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} = 4\pi \delta^3( \boldsymbol{\mathbf{R}} )
\end{equation}
代入得
\begin{equation}
\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{G}} = \int \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \delta^3( \boldsymbol{\mathbf{r}} - \boldsymbol{\mathbf{r}} ') \,\mathrm{d}{V'} = \boldsymbol{\mathbf{F}} ( \boldsymbol{\mathbf{r}} )
\end{equation}
证毕．
证明定理 2
使用eq. 4 ，有
\begin{equation}
\begin{aligned}
& \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \frac{1}{4\pi} \int \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\cdot} \left( \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\times \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \right) \,\mathrm{d}{V'} \\
&= \frac{1}{4\pi} \int \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \boldsymbol\cdot ( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} ) \,\mathrm{d}{V'} - \frac{1}{4\pi} \int \boldsymbol{\mathbf{F}} \boldsymbol\cdot \left( \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \frac{ \boldsymbol{\mathbf{R}} }{R^3} \right) \,\mathrm{d}{V'}
\end{aligned}
\end{equation}
注意 $ \boldsymbol{\mathbf{F}} $ 是 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} '$ 的函数而不是 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} $ 的函数，所以第一项中 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} \boldsymbol{\mathbf{F}} = \boldsymbol{\mathbf{0}} $．另外由于 $ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{\times} ( \boldsymbol{\mathbf{R}} /R^3) = \boldsymbol{\mathbf{0}} $（引用未完成），上式恒为零．证毕．
1. ^ 参考 [12] 相关章节．