不定积分
一个实数函数 $f(x)$ 的不定积分（indefinite integral）是另一个函数 $F(x)$，叫做 $f(x)$ 的原函数（primitive function）．不定积分记为
\begin{equation}
F(x) = \int f(x) \,\mathrm{d}{x}
\end{equation}
注意积分符号 $\int$ 和 $ \,\mathrm{d}{x} $ 是一个整体算符，作用在他们中间的函数上
1．
不定积分被定义为求导的逆运算．即若能找到 $F(x)$ 使其导数为 $f(x)$，那么 $F(x)$ 就是 $f(x)$ 的一个原函数．
\begin{equation}
F'(x) = f(x)
\end{equation}
给出一个 $f(x)$，可以找到许多不同的原函数，且这些原函数都只相差一个常数．也就是说，给 $f(x)$ 的任意一个原函数加上一个常数 $C$，就可以得到 $f(x)$ 的另一个原函数．$C$ 叫做积分常数（constant of integration）．
证明：由于常数导数为 $0$，给原函数加上常数后eq. 2 仍然成立
\begin{equation}
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{x}} [F(x) + C] = f(x)
\end{equation}
我们可以从几何上来理解该式：将函数曲线 $y = F(x)$ 整体在 $y$ 方向平移并不影响某个 $x$ 坐标处函数曲线的斜率．
不定积分的基本性质
由于求导是线性运算，不定积分也是线性运算．即若干函数的线性组合的积分等于分别对这些函数积分再线性组合．令 $a_n$ 为常数，有
\begin{equation}
\int [a_1 f_1(x) + a_2 f_2(x)\dots] \,\mathrm{d}{x} = a_1 \int f_1(x) \,\mathrm{d}{x} + a_2 \int f_2(x) \,\mathrm{d}{x} \dots
\end{equation}
不定积分计算方法
与求导不同，计算不定积分没有特定的步骤，这里介绍几种方法
- 最简单直接的方法是把已知的各种常见函数的导数写成积分的形式，例如已知 $\sin x$ 的导数是 $\cos x$，$\cos x$ 的积分就是 $\sin x$ 加任意常数．
- 换元积分法，包括第一类换元法和第二类换元法．
- 分部积分法
- 查表法．许多高等数学教材（包括本书）都会给出一个积分表．当然，在信息技术发达的今天这种方法几乎已经被计算软件和网站取代．
- 计算软件和网站．常见的符号计算软件有 Mathematica，Maple 等，数学网站有 Wolfram Alpha 等（建议先把积分技巧练熟再使用这些方法）．其中 Wolfram Alpha 对许多积分还会给出详细的计算步骤．
对于一些常用积分，一般要求能熟记或快速推出．见积分表 中的常用积分部分．
1. ^ 有时候为了方便也会记为 $\int \,\mathrm{d}{x} f(x)$