高斯分布（正态分布）
高斯分布函数为
\begin{equation}
f(x) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi }} \exp \left[-\frac{(x - \mu )^2}{2\sigma ^2} \right]
\end{equation}
其中 $\mu$ 是分布的的平均值，$\sigma$ 是标准差．满足归一化条件
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{\infty} f(x) \,\mathrm{d}{x} = 1
\end{equation}
未完成：图，例题，平均值，方差
推导
高斯分布（Gaussian Distribution）又叫正态分布（Normal Distribution），具有如下形式
\begin{equation}
f(x) = A\exp \left[-\lambda (x - x_0)^2 \right]
\end{equation}
可见其主要特征就是指数函数中含有 $\Delta x^2$ 项．由对称性，分布函数是关于 $x =x_0$ 的偶函数，所以平均值显然为 $\mu = x_0$．首先我们补充两个积分，由换元积分法
（$x=\sqrt{t}$）以及 $\Gamma$ 函数
的性质得
\begin{equation}
\int_{-\infty }^{+\infty } \exp\left(-x^2\right) \,\mathrm{d}{x} = \int_0^{+\infty} t^{-1/2} \mathrm{e} ^{ - t} \,\mathrm{d}{t} = \left(-\frac12 \right) ! = \sqrt \pi
\end{equation}
\begin{equation}
\int_{-\infty}^{+\infty} x^2 \exp\left(-x^2\right) \,\mathrm{d}{x} = \int_0^{+\infty} t^{1/2} \mathrm{e} ^{-t} \,\mathrm{d}{t} = \frac12 ! = \frac12 \left(-\frac12 \right) ! = \frac{\sqrt\pi}{2}
\end{equation}
根据分布函数的归一化条件，结合eq. 4 得
\begin{equation}
1 = \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) \,\mathrm{d}{x} = A\int_{-\infty}^{+\infty} \exp \left[-\lambda (x - x_0)^2 \right] \,\mathrm{d}{x} = A\sqrt{\frac{\pi}{\lambda}}
\end{equation}
即 $A = \sqrt{\lambda/\pi}$．再来计算高斯分布的方差，结合
eq. 5 得
\begin{equation}
\sigma ^2 = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - x_0)^2 A\exp \left[-\lambda (x - x_0)^2 \right] \,\mathrm{d}{x} = \frac{1}{2\lambda}
\end{equation}
用
eq. 6 和
eq. 7 解得 $\lambda = 1/(2\sigma^2)$ 和 $A = 1/(\sigma\sqrt{2\pi})$，代入
eq. 3 可得高斯分布
eq. 1 ．