二项式定理
二项式展开公式为
\begin{equation}
(a + b)^n = \sum_{i = 0}^n \begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix} a^i b^{n - i} \quad (n \text{为正整数})
\end{equation}
其中表示
组合（combination），定义为
\begin{equation}
\begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix} = \frac{n(n - 1)\dots (n - i + 1)}{i!} = \frac{n!}{i!(n - i)!}
\end{equation}
推导
若展开多项式的时候先不合并同类项（每项前面的系数都是 1）则
- $(a + b)^0 = 1$ 有 1 项
- $(a + b)^1 = a + b$ 有 2 项
- $(a + b)^2 = aa + ab + ba + bb$ 有 4 项
- $(a + b)^3 = aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb$ 有 8 项
- $(a + b)^n$ 有 $2^n$ 项（若不合并相同项）
这就相当于用 $a$ 和 $b$ 填满 $n$ 个有序的位置，每个位置都可以取 $a$ 或 $b$，共有 $2^n$ 种排列，每种排列就是一项，所以共有 $2^n$ 项．
下面把 $2^n$ 项中的相同项进行合并，把其中出现了 $i$ 个 $a$ 及 $n-i$ 个 $b$ 的项都记为 $a^i b^{n-i}$，那么共有 $ \begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix} $ 个这样的项．把它们相加得 $ \begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix} a^i b^{n-i}$．所以
\begin{equation}
(a + b)^n = \sum_{i = 0}^n \begin{pmatrix}n\\i\end{pmatrix} a^i b^{n - i}
\end{equation}
证毕．