反函数求导

Prerequisite　基本初等函数的导数

　　若已知 $f(x)$ 的导函数为 $f'(x)$，则 $f(x)$ 的反函数 $f^{-1}(x)$ 的导函数为

\begin{equation} [f^{-1}(x)]' = \frac{1}{f'[f^{-1}(x)]} \end{equation}

为了消除上式可能产生的歧义，记 $f(x)$ 的导函数为 $h(x)$， $f(x)$ 的反函数为 $g(x)$．上式变为

\begin{equation} g'(x) = \frac{1}{h[g(x)]} \end{equation}

　　在区间 $[0, \infty)$ 上，令函数 $f(x) = x^2$，那么反函数为 $f^{-1}(x) = \sqrt{x}$．已知 $f'(x) = 2x$（eq. 7 ），带入eq. 1 得反函数的导数为

\begin{equation} [f^{-1}(x)]' = \frac{1}{2\sqrt{x}} \end{equation}

我们也可以通过直接对 $\sqrt{x} = x^{1/2}$ 求导来验证这一结果的正确性．

　　只有函数 $y = f(x)$，在某个区间 $(x_1, x_2)$ 内连续且单调时．因为如果一个 $y$ 有多个 $x$ 对应，反函数中将会出现一个 $x$ 对应多个 $y$ 的情况．

反函数的定义

　　令满足上述条件的某函数和反函数分别为 $f(x)$， $g(x)$，在有定义的区间内的任何一对满足 $y = f(x)$ 的 $x$， $y$ 都满足 $g(y) = x$，则 $g(x)$ 是 $f(x)$ 的反函数．

Fig. 1：在同一点处，$f'= \mathrm{d}{y}/\mathrm{d}{x} $，$g'= \mathrm{d}{x}/\mathrm{d}{y} $，互为倒数

　　根据导数和微分的关系，$y = f(x)$ 在曲线上的某点 $(x_0, y_0)$，有

\begin{equation} \,\mathrm{d}{y} = f'(x_0) \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

同一点也满足 $g(y_0) = x_0$，且

\begin{equation} g'(y_0) \,\mathrm{d}{y} = \,\mathrm{d}{x} \end{equation}

对比eq. 4 和eq. 5 ，得

\begin{equation} g'(y_0) = \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{y}} = \frac{1}{f'(x_0)} \end{equation}

可见fig. 1 曲线上同一点处 $f'$ 和 $g'$ 互为倒数．把 ${x_0} = g(y_0)$ 代入上式，得

\begin{equation} g'(y_0) = \frac{\mathrm{d}{x}}{\mathrm{d}{y}} = \frac{1}{f'[g(y_0)]} \end{equation}

上式中，$y_0$ 可以是 $g$ 函数定义域的任意一点，所以

\begin{equation} g'(y) = \frac{1}{f'[g(y)]} \end{equation}

或者用习惯上的 $x$ 作为自变量，得

\begin{equation} g'(x) = \frac{1}{f'[g(x)]} \end{equation}

证毕．