泛函分析笔记1

Banach 空间

1.1 Linear Spaces and Dimension

¹$\mathbb R$ 和 $\mathbb C$ 分别表示实数域和复数域，$\mathbb K$ 表示二者中的一个
$\mathbb K^N$ 表示 $N$ 元 tuple $(\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_N)$
某区间上的连续函数 $u:[a, b] \to \mathbb{R}$ 可以表示为 $C[a, b]$
$\mathbb{K}$ 上（over $\mathbb K$）的矢量空间（linear space 就是 vector space) 表示只能以 $\mathbb K$ 的元乘以某个矢量
$C[a, b]$ 是无穷维矢量空间

1.2 Normed Spaces and Convergence

用 $ \left\lVert u \right\rVert > 0$ 表示范数（norm）
定义了范数的空间就叫赋范空间（normed space），满足 (1) $ \left\lVert u \right\rVert \geqslant 0$，(2) $ \left\lVert u \right\rVert = 0$ iff $u = 0$，(3) $ \left\lVert \alpha u \right\rVert = \left\lvert \alpha \right\rvert \left\lVert u \right\rVert $，(4) $ \left\lVert u + v \right\rVert \leqslant \left\lVert u \right\rVert + \left\lVert v \right\rVert $
定义两个矢量之间的距离（distance） 为 $ \left\lVert u - v \right\rVert $
模可以用于定义极限 $\lim_{n\to\infty} u_n = u$ 为 $\lim_{n\to\infty} \left\lVert u_n - u \right\rVert = 0$，即 $u_n$ 收敛到 $u$
上一条中，(1) $u$ 是唯一的，(2) $u_n$ 是有界的（bounded），(3) $ \left\lVert u_n \right\rVert \to \left\lVert u \right\rVert $，(4) $u_n + v_n \to u + v$，(5) $\alpha_n u_n \to \alpha u$
柯西序列（Cauchy sequence）：对任意 $\varepsilon > 0$，存在 $N$，当 $n, m \geqslant N$ 就有 $ \left\lVert u_n - u_m \right\rVert < \varepsilon$
在赋范空间中，每个收敛序列都是柯西序列

1.3 Banach Spaces and the Cauchy Convergence Criterion

赋范空间 $X$ 是 Banach 空间当且仅当每个柯西数列都收敛
在 Banach 空间中，收敛序列都是柯西序列
空间 $X := C[a, b]$ 是实数 Banach 空间，定义范数为 $ \left\lVert u \right\rVert := \max_{a \leqslant x \leqslant b} \left\lvert u(x) \right\rvert $．$u_n \to u$ 意味着 $ \left\lVert u_n - u \right\rVert = \max_{a \leqslant x \leqslant b} \left\lvert u_n(x) - u(x) \right\rvert \to 0$．也就是 $u_n(x)$ 一致收敛到 $u$
如果柯西序列 $u_n$ 的子序列 $u_{n'} \to u$，那么 $u_n \to u$
若 $\sum_{j=1}^\infty \left\lVert u_{j+1} - u_j \right\rVert < \infty$，那么 $u_n$ 是柯西序列
集合 $U_\varepsilon (u_0) := \{u \in X: \left\lVert u - u_0 \right\rVert < \varepsilon\}$ 叫做 $u_0$ 的 $\varepsilon$-邻域（neighborhood）

1.4 Open and Closed Sets

$X$ 的子集 $M$ 是开集当且仅当对任意 $u \in M$ 都存邻域是 $M$ 的子集
$X$ 的子集 $M$ 是闭集当且仅当每个序列的极限都属于 $M$
$X$ 的子集 $M$ 是 closed 当且仅当 $X - M$ 是开的

1.5 Operators

$M$ 和 $Y$ 是集合，$u \in M, v \in Y$ 算符 $A: M \to Y$ 代表映射 $v = Au$，其中 $M$ 是定义域（domain of definition），也记为 $D(A)$．值域（range）是 $A(M) := \{v \in Y: v = Au, u \in M\}$，也记为 $R(A)$
$A$ 叫满射（surjective） 当且仅当 $A(M) = Y$，叫做单射（injective） 当且仅当 $Au = Av$ 意味着 $u = v$，双射（bijective） 如果前两者都符合
如果 $A$ 是 bijective，存在逆算符 $A^{-1}: Y \to M$，定义为 $A^{-1} v = u$ 当且仅当 $Au = v$
算符也叫函数
$A: M \subseteq X \to Y$ 表示 $A: M \to Y$ 且 $M \subseteq X$，当 $Y = \mathbb K$，就把 $A$ 叫做泛函（functional）

1.9 Continuity

Sequentially continuous：$\lim_{n\to\infty} u_n = u$（$u\in M$）意味着 $\lim_{n\to\infty} Au_n = Au$
continuous operator：对任意 $u\in M$，以及 $\varepsilon > 0$，存在 $\delta > 0$ 使得 $ \left\lVert v-u \right\rVert < \delta$（$v\in M$）意味着 $ \left\lVert Av-Au \right\rVert < \varepsilon$
uniformly continuous operator：上面的 $\delta$ 不取决于 $u$
Lipschitz continuous：存在 $L > 0$ 使得 $ \left\lVert Av-Au \right\rVert \le L \left\lVert v-u \right\rVert $ 对所有 $u,v \in M$ 都成立
continuous 和 sequentially continuous 是充要条件
两个连续算符的复合算符 $C = A \circ B$ 也是连续的
两个集合叫 homeomorphic（注意不是 homomorphic）当且仅当存在一个算符，满足连续，双射，且逆算符也连续

1.10 Convexity

凸集（convex set）：线性空间中的子集 $M$ 是凸的当且仅当 $u, v\in M$ 且 $0\le\alpha\le1$ 意味着 $\alpha u+(1-\alpha)v\in M$（两点之间的连线也属于集合）
凸函数：凸集合上的函数 $f:M\to\mathbb R$ 满足 $f(\alpha u + (1-\alpha)v) \le \alpha f(u)+(1-\alpha)f(v)$ 对所有 $u, v\in M$ 和 $0\le\alpha\le1$ 都成立
赋范空间中的函数 $f(u) := \left\lVert u \right\rVert $ 是凸函数
linear subspace，closed linear subspace
显然所有线性子空间都是凸的
linear hull：$ \operatorname {span} M$，closure：$\bar M$，convex hull：$ \operatorname {co} M$
$u \in \operatorname {co} M$：对固定的 $n = 1, 2,\dots$，$u = \alpha_1u_1 + \dots + \alpha_n u_n$，其中 $u_1,\dots,u_n\in M$，$0\le\alpha_1,\dots,\alpha_n\le1$，$\alpha_1+\dots+\alpha_n = 1$

1.11 Compactness

如果赋范空间的集合 $M$ 满足每个序列都有收敛的子序列，那么 $M$ 就是相对紧的（relatively compact）
如果赋范空间的集合 $M$ 满足每个序列都有收敛的子序列且收敛到 $M$ 中，那么 $M$ 就是紧的（compact）
如果存在 $r \geqslant 0$ 使任意 $u \in M$ 都有 $ \left\lVert u \right\rVert \leqslant r$，那么 $M$ 就是有界的（bounded）
$M$ 是紧的当且仅当它是相对紧的且闭合
每个紧集都是有界的
$\mathbb K^N$ 上的子集若使用 $ \left\lVert u \right\rVert := \left\lvert u \right\rvert _\infty$，那么它是相对紧的当且仅当它是有界的
Arzela-Ascoli theorem：令 $X := C[a, b]$，且 $ \left\lVert u \right\rVert := \max_{a\leqslant x\leqslant b} \left\lvert u(x) \right\rvert $．那么若 $M \subseteq X$ 有界且一致连续，那么 $M$ 就是相对紧的
Weierstrass 定理：令 $f: M\to \mathbb R$ 为赋范空间中非空紧子集 $M$ 上的连续函数，那么 $f$ 在 $M$ 上存在一个最大值和最小值
令 $X, Y$ 为 $\mathbb K$ 上的赋范空间，令 $A: M \subseteq X \to Y$ 中 $M$ 为非空紧集，$A$ 为连续算符．那么 $A$ 是一致连续的
finite $\varepsilon$ net 对任意 $\varepsilon > 0$，存在有限多个点 $v_1, \dots, v_J \in M$ 使得 $\min_{1\le j\le J} \left\lVert u-v_j \right\rVert \le \varepsilon$（$\forall u\in M$）
$A: M \subseteq X \to Y$ 称为紧的（compact） 当且仅当 $A$ 是连续的且 $A$ 将有界集变换到相对紧集
算符 $(Au)(x) := \int_a^b F(x, y, u(y)) \,\mathrm{d}{y} $ 是紧的，其中 $-\infty < a < b < \infty$，$u(x)$ 有界

1.13 The Minkowski Functional and Homeomorphisms

赋范空间 $X$ 中的两个范数叫做 equivalent 当且仅当存在正数 $\alpha$ 和 $\beta$ 使得 $\alpha \left\lVert u \right\rVert \leqslant \left\lVert u \right\rVert _1 \leqslant \beta \left\lVert u \right\rVert $ 对所有的 $u \in X$ 成立
有限维空间的任意两个范数都是 equivalent 的
每个有限维赋范空间都是 Banach space.
如果 $u_0, \dots, u_N$ 满足 $u_1 - u_0, u_2 - u_0,\dots, u_N - u_0$ 线性无关，那么就说它们在一般位置（general position）．这个性质与 $u_0, \dots, u_N$ 的顺序无关
$N$-单纯形（$N$-simplex）是 $\mathcal S := \operatorname {co} \left\{u_0, \dots, u_N \right\} $（$ \operatorname {co}$ is convex hull），其中 $u_0, \dots, u_N$ 在一般位置．$0$-单纯形是一个点
单纯形的 barycenter 是 $b := \sum_{j=0}^N u_j / (N+1)$
$\mathcal S$ 的 $k$-face 是单纯形中 $k+1$ 个不同 vertices 的 convex hull
$ \operatorname {diam} M := \sup_{u, v\in M} \left\lVert u - v \right\rVert $ is the diameter of $M$, and $ \operatorname {dist}(u, M) := \inf_{w \in M} \left\lVert u - w \right\rVert $ is the distance of the point $u$ from the point $M$

1.14 The Brouwer Fixed-Point Theorem

当 $M$ 是有限维赋范空间中紧的，凸的，非空的子集，连续算符 $A: M \to N$ 拥有 fixed point

1.15 The Schauder Fixed-Point Theorem

紧算符 $A: M \to M$ 有一个 fixed point 如果 $M$ 是 Banach 空间的一个有界的，闭的，突的，非空的子集

1.20 Linear Operators

线性算符 $A: L \subseteq X\to Y$ 是线性的当且仅当 $A (\alpha u + \beta v) = \alpha Au + \beta Av$
用 $L(X, Y)$ 表示线性连续算符 $A: X \to Y$，$X$ 是 $\mathbb K$ 上的赋范空间，$Y$ 是 $\mathbb K$ 上的 Banach 空间．$L(X, Y)$ 是 $\mathbb K$ 上的 Banach 空间，范数就是算符的范数
有限维矢量空间中的线性算符可以表示为矩阵，所有这些算符都是连续的
算符的零空间（null space） 为 $N(A) := \left\{u \in X: Au = 0 \right\} $
线性算符 $A$ 是连续的，当且仅当存在 $c > 0$ 使 $ \left\lVert Au \right\rVert \leqslant c \left\lVert u \right\rVert $ 对所有 $u$ 都成立．即当且仅当 $A$ 是有界的
线性算符是单射的当且仅当 $N(A) = {0}$
定义线性连续算符 $A: X \to Y$ 的算符范数（operator norm） 为 $ \left\lVert A \right\rVert := \sup_{ \left\lVert v \right\rVert \leqslant 1} \left\lVert A v \right\rVert $
当 $X \ne {0}$，有 $ \left\lVert A \right\rVert := \sup_{ \left\lVert v \right\rVert = 1} \left\lVert A v \right\rVert $

1.21 The Dual Space

令 $X$ 为 $\mathbb K$ 上的一个赋范空间，一个线性的连续算符 $f: X \to \mathbb K$ 称为线性连续泛函（linear continuous functional）
所有 $X$ 上的线性连续泛函叫做 $X$ 的对偶空间（dual space） $X^*$，$X^* = L(X, \mathbb K)$
$f \in X^*$ 作用在 $u \in X$ 上可以记为 $ \left\langle f, u \right\rangle := f(u)$
$f\in X^*$ 的范数为 $ \left\lVert f \right\rVert := \sup_{ \left\lVert v \right\rVert \leqslant 1} \left\lvert f(v) \right\rvert $，所以 $ \left\lvert f(u) \right\rvert \leqslant \left\lVert f \right\rVert \left\lVert u \right\rVert $
令 $X$ 为 $\mathbb K$ 上的赋范空间，那么对偶空间 $X^*$ 使用上述范数就是 $\mathbb K$ 上的 Banach 空间

1.23 Banach Algebras and Operator Functions

By a Banach algebra $\mathcal B$ over $\mathbb K$ we understand a Banach space over $\mathbb K$, where an additional multiplication $AB$ is defined such that $AB \in \mathcal B$ for all $A, B \in \mathcal B$. More over, for $A, B, C \in \mathcal B$ and $\alpha \in \mathbb K$, $(AB)C = A(BC)$, $A(B+C) = AB + AC$, $(B+C)A = BA + CA$, $\alpha(AB) = (\alpha A)B = A(\alpha B)$, $ \left\lVert AB \right\rVert \leqslant \left\lVert A \right\rVert \left\lVert B \right\rVert $. Exist $E \in \mathcal B$ such that $AE = EA$ for all $A \in \mathcal B$ and $ \left\lVert E \right\rVert = 1$
define operator function through $F(A) := \sum_{j=0}^\infty a_j A^j$, and $F(z) = \sum_{j=0}^\infty a_j z^j, z\in \mathbb K$
Let $X$ be a Banach space over $\mathbb K$. For each $A \in L(X, X)$ with $ \left\lVert A \right\rVert < r$, $F(A) \in L(X, X)$

1.25 Application to the Spectrum

考虑 $Au = \lambda u, u \in X, \lambda \in \mathbb C$
令 $A\in L(X,X)$，$X$ 是非空的复 Banach 空间． $\lambda$ 是本征值（eigen value） 当 $u\ne 0$
预解集（resolvent set） $\rho(A)$：使得 $(A-\lambda I)^{-1}: X \to X$ 存在且 $\in L(X,X)$．$(A-\lambda I)$ 叫做 resolvent
预解集中的 $\lambda$ 代入本征方程只能解得 0 矢量
$\sigma(A) := \mathbb C - \rho(A)$ 叫做谱（spectrum）
谱是 $\mathbb C$ 中的紧子集且 $ \left\lvert \lambda \right\rvert \leqslant \left\lVert A \right\rVert $ 对所有 $\lambda\in\sigma(A)$ 成立
每个本征值都属于谱
预解集 $\rho(A)$ 是一个开集
Banach 空间 $X$ 上的一个算符 $B: X\to X$ 如果值域 $R(B)$ 是闭的且零空间是有限维的，那么他就是 semi-Fredholm 的
本质谱（essential spectrum） $\sigma_e(A)$ 包括所有使得 $(A - \lambda I)$ 不是 semi-Fredholm 的 $\lambda$
$\sigma_e(A) \subseteq \sigma(A)$
$\sigma_e(A)$ 就是所有具有无穷简并（degeneracy）的本征值的集合
如果 $X$ 是有限维的，那么 $A$ 的本质谱是空的

1.26 Density and Approximation

$M \subseteq X$ 被称为在 $X$ 中稠密的（dense） 当且仅当 $\bar M = X$，其中 $\bar M$ 是 $M$ 的闭包
可数的（countable）, 至多可数（at most countable）
$X$ 叫可分的（separable） 的当且仅当它存在至多可数的稠密子集 $M \subseteq X$
Weierstrass 近似理论: $X := C[a, b]$，$-\infty < a < b < \infty$．所有实系数多项式的集合在 $X$ 内稠密
$C[a, b]$ 是可分的
任何有限维赋范空间都是可分的
令 $X$ 为可分的赋范空间．存在一个序列 $ \left\{X_n \right\} $（$X_n$ 是 $X$ 的有限维线性子空间），使得 $X_1 \subseteq X_2 \subseteq \dots \subseteq X$ 以及 $\bigcup_{n=1}^\infty X_n = X$

Problems

令 $C^k[a, b]$（$k=1,2,\dots$）为连续函数 $u:[a, b]\to\mathbb R$，满足 $k$ 阶导数连续．令 $ \left\lVert u \right\rVert := \sum_{j=0}^k \max_{a\le x\le b} \left\lvert u^{(j)}(x) \right\rvert $

1. ^ 本文参考： [9]