外代数

             

Prerequisite　张成空间，四元数，域上的代数

　　 外代数是一种利用已有线性空间构造 “代数” 这一对象的通用方法，同时蕴含了对三维矢量分析中代数结构的本质解释．

　　 给定线性空间 $V$，任取 $x, y\in V$，定义 $x\wedge y\not\in V$ 是一个新的元素，其中符号 $\wedge$ 称作外积（exterior product），有时也叫做楔积（wedge product），前者是因为这个运算得到的是 $V$ 以外的新元素，后者是由于符号长得像个楔子．注意，为了方便，我们没有使用线性代数中常见的粗体正体符号来表示向量．

　　 利用各 $x\wedge y$ 构造新的线性空间：定义 $x\wedge y=-y\wedge x$ 对所有 $x, y\in V$ 成立，这同时意味着 $x\wedge x=0$．集合 $\{x\wedge y|x, y\in V\}$ 张成的线性空间，记为 $\bigwedge^2 V$．同时，为了统一考虑，记 $V=\bigwedge^1 V$．

　　 $\bigwedge^1 V$ 和 $\bigwedge^2 V$ 之间也可以进行楔积，并且满足结合律：$x\wedge(y\wedge z)=(x\wedge y)\wedge z$，由此可以拿掉结合括号，定义 $x\wedge y\wedge z=x\wedge(y\wedge z)=(x\wedge y)\wedge z$．集合 $\{x\wedge y\wedge z|x, y, z\in V\}$ 张成的线性空间，记为 $\bigwedge^3 V$．

　　 同理，我们可以构造出任意阶的 $\bigwedge^k V$．要注意的是，如果 $k > \operatorname {dim} V$，那么 $\bigwedge^k V=\{0\}$．另外，把 $V$ 的基本域 $\mathbb{F}$ 看成一个一维线性空间，记 $\mathbb{F}=\bigwedge^0 V$．

　　 不同线性空间之间可以用直和组合在一起，因此以上这些空间也都可以作直和，得到一个 $\bigwedge V=\bigoplus_k\bigwedge^k V=\mathbb{F}\oplus\bigwedge^1V\oplus\bigwedge^2V\cdots$．这个 $\bigwedge V$，就被称作 $V$ 上的外积空间（exterior product space）或楔积空间（wedge product space）．$\mathbb{F}$ 是 $V$ 的基域，视为 $\mathbb{F}$ 自身上的一维线性空间．

Theorem 1　外代数

　　 任给域 $\mathbb{F}$ 上的线性空间 $V$，则外积 $\wedge$ 是一个 $\bigwedge V$ 上的向量乘法，并且满足结合性，有单位元 $1\in \bigwedge^0 V$，故构成一个 $\mathbb{F}$ 上的代数．称这个代数为 $V$ 上的外代数（exterior algebra）或格拉斯曼代数（Grassmann algebra）．

　　 外代数中的元素可以有形象的几何理解．$\bigwedge^1 V$ 中的元素就是 $V$ 中的元素，我们可以想象成箭头．$\bigwedge^2 V$ 中的元素可以看成箭头对，或者是箭头对表示的平行四边形．同样，$\bigwedge^k V$ 中的元素都可以看成是 $k$ 个箭头张成的一个 $k$ 维对象．

　　 外代数有一个重要的性质，我们用exer. 1 和exer. 2 来阐述：

Exercise 1　

　　 证明：如果 $k > \operatorname {dim} V$，那么 $\bigwedge^kV=\{0\}$．

Exercise 2　

　　 证明：对于 $ \operatorname {dim} V=k$，有 $ \operatorname {dim} \bigwedge V=2^k$．思路提示：考虑各 $ \operatorname {dim}\bigwedge^iV$ 的值，再对比 $(1+1)^k$ 的二项式展开．

　　 三维欧几里得空间 $\mathbb{R}^3$ 中的叉乘实际上就是外积．这是因为，$ \operatorname {dim}\mathbb{R}^3= \operatorname {dim}\bigwedge^2\mathbb{R}^3$，这样一来，如果给定 $\mathbb{R}^3$ 的标准正交基 $\{x, y, z\}$，那么我们可以建立同构 $*: \bigwedge^2\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}^3$，使得 $*(x\wedge y)=z, *(y\wedge z)=x, *(z\wedge x)=y$，这样就可以通过这个同构来把外积变成 $\mathbb{R}^3$ 内部的向量积．这一映射也是叉乘的 “右手定则” 的来源，我们也完全可以规定 $*(x\wedge y)=-z, *(y\wedge z)=-x, *(z\wedge x)=-y$，这样定义出来的叉乘就是符合左手定则的了．

　　 三维线性空间是唯一可以构造反交换代数的非平凡空间，就是因为只有三维的 $V$ 才满足 $ \operatorname {dim}V= \operatorname {dim}\bigwedge^2V$，因而可以建立 $\bigwedge^2 V$ 和 $V$ 之间的同构，从而把楔积变成叉积．相应地，比复数更高维的可除代数只有四元数．

　　 外代数是一个 “分次线性空间（graded vector space）”，就是说，它作为一个线性空间，每个向量具有一个 “次数”，定义如下：每个 $\bigwedge^kV$ 中的向量，其次数（grade）就是 $k$；对于任意向量 $v\in V$，我们总可以把它拆分成各 $\bigwedge^kV$ 中基向量的线性组合，这些基向量中次数最高的就定义为 $v$ 的次数．

         

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