域的扩张

             

Prerequisite　域

域的单扩张

　　 如果在一个域中添加不属于域集合的元素，我们可以得到一个更大的集合．要让这个新集合成为域，我们就得定义新元素和原来域中元素相加和相乘的结果；无论怎么定义，这个结果必须满足域的公理．如果在集合中任何元素都无法成为某个运算结果，那么我们就必须再引入新的元素来作为这个结果．以此类推，不停地添加新元素，直到最后不需要添加新元素了，那最后这个集合就是一个新的域，它包含了原来的域．这个域是原来的域的扩张，并且包含最初那个新元素的最小的域，因此被称为单元素扩张，简称单扩张．

　　 域的单扩张具体是怎么进行的呢？我们将从例子开始说明，最后引入域的单扩张的定义．

Exercise 1　有理数域的 $\sqrt{2}$ 扩张

　　 给定有理数域 $\mathbb{Q}$，则 $\sqrt{2}$ 并不是 $\mathbb{Q}$ 的元素．将 $\sqrt{2}$ 添加进去，那么由于 $\sqrt{2}$ 是实数域 $\mathbb{R}$ 的元素，这提示我们可以把新的运算结果按照 $\mathbb{R}$ 中的运算来定义．这样，$\mathbb{Q}$ 中添加 $\sqrt{2}$ 的单扩域的集合就是 $\{a+b\sqrt{2}|a, b\in\mathbb{Q}\}$．

　　 请验证，任意 $a+b\sqrt{2}$ 都必须在扩域中，而这个集合也满足了加法和乘法的封闭性，所以构成了一个域；换句话说，这个集合是包含 $\sqrt{2}$ 和全体有理数的最小的域．

Exercise 2　超越扩域

　　 依然给定有理数域 $\mathbb{Q}$，这次添加的元素是 $\pi$．那么扩域应当是

\begin{equation} \{\frac{\sum_{i=0}^N a_i\pi^i}{\sum_{j=0}^M b_j\pi^j}|a_i, b_j\in\mathbb{Q}, b_j\text{不全为零，} N, M\in\mathbb{Z}^+\} \end{equation}
也就是 $\pi$ 的所有有理系数多项式的分式构成的集合，其中分母不是 $0$．

　　 验证这是一个域，并且是包含全体有理数和 $\pi$ 的最小域．注意 $a_i$ 全为 $0$ 的情况意味着什么．

　　 这是 $\mathbb{Q}$ 中添加 $\pi$ 后的单扩张．

　　 观察这两个域扩张的特点，我们容易发现，域添加某个元素后的单扩张，必须包含这个元素的所有多项式，系数取自域中；包含了所有多项式以后，也就构成了一个域，域的扩张就完成了．因此，域的单扩张就是把新元素的多项式都添加进去的过程．

　　 但是两个场景是不太一样的．$\mathbb{Q}$ 中添加 $\pi$ 的过程中，包含了所有 $\pi$ 的有理系数多项式，但是添加 $\sqrt{2}$ 的时候却只需要最多 $1$ 阶的多项式．这是因为 $\sqrt{2}$ 的 $2$ 次方是一个有理数，落入了 $\mathbb{Q}$ 中，因此 $\sqrt{2}$ 的 $2$ 阶及以上的有理系数多项式都可以表示为最多 $1$ 阶的多项式．

　　 换一种更方便的表述，那就是 $x^2-2$ 这个多项式是阶数最小的能将 $\sqrt{2}$ 映射为 $0$ 的多项式．这就引出最小多项式的概念．

Definition 1　最小多项式

　　 给定一个环 $R$ 和任意元素 $x_0$，其中 $x_0$不一定是 $R$ 中的元素．记 $$R[x_0]=\{\sum_{i=0}^N r_ix_0^i|r_i\in R, N\in\mathbb{Z}^+\}$$称 $R[x_0]$ 是 $x_0$ 在 $R$ 中的多项式环．在 $R[x_0]$ 中，如果存在一个多项式 $f(x_0)=0$，并且任何更低阶的多项式的值都不是 $0$，那么称 $f(x_0)$ 是 $x_0$ 在 $R$ 上的最小多项式（minimal polynomial），或极小多项式．使不存在值为 $0$ 的多项式（这也意味着所有多项式的值甚至都不在 $R$ 中），那么我们说，$x_0$ 在 $R$ 中不具有最小多项式．

　　 在exer. 1 和exer. 2 中，$\pi$ 和 $\sqrt{2}$ 的本质区别就是：在 $\mathbb{Q}$ 中，$\pi$ 没有最小多项式，但是 $\sqrt{2}$ 具有最小多项式 $x^2-2$．这决定了同一个域 $\mathbb{Q}$ 分别添加 $\pi$ 和 $\sqrt{2}$ 后的不同单扩张．

　　 可是，我们把域抽象地看成满足一定条件的集合时，和所有集合一样，域中的元素叫什么名字并不重要．对于exer. 1 和exer. 2 中的情况，我们其实是借用了 $\mathbb{R}$ 中已有的元素名称来引出两个不同的单扩域的．如果不进行这样的类比引出，而只是单纯地说在 $\mathbb{Q}$ 中加入某个新的元素 $x_0$ 来进行单扩张，那么结果可能是 $\{a+bx_0|a, b\in\mathbb{Q}\}$，可能是 $\{\sum_{i=0}^N a_ix_0^i|a_i\in\mathbb{Q}, N\in\mathbb{Z}^+\}$，可能是 $\{a+bx_0+cx_0^2|a, b, c\in\mathbb{Q}\}$，甚至还可能形式上也是 $\{a+bx_0|a, b\in\mathbb{Q}\}$，只不过 $x_0^2=2/3$ 了．这时该怎么描述域的单扩张呢？

　　 答案是应用最小多项式对单扩张的决定作用．

Definition 2　域的单扩张

　　 给定域 $\mathbb{F}$ 和一个元素 $x_0$，其中 $x_0$ 不一定在 $\mathbb{F}$ 中．定义 $\mathbb{F}$ 添加 $x_0$ 的单扩张是集合

\begin{equation} \{\frac{\sum_{i=0}^N a_ix_0^i}{\sum_{j=0}^M b_jx_0^j}|a_i, b_j\in\mathbb{F},\quad\sum_{j=0}^M b_jx_0^j\not=0,\quad N, M\in\mathbb{Z}^+\} \end{equation}
记为 $\mathbb{F}(x_0)$；容易验证，这是一个域．

　　 在def. 2 中，如果 $x_0$ 在 $\mathbb{F}$ 中没有最小多项式，那么 $\mathbb{F}(x_0)$ 中的各元素彼此不同，此时我们称 $x_0$ 是 $\mathbb{F}$ 的超越元（transcendental element）；

　　 如果 $x_0$ 在 $\mathbb{F}$ 中有最小多项式 $f(x)$，那么称 $x_0$ 是 $\mathbb{F}$ 的代数元（algebraic element），此时在 $\mathbb{F}(x_0)$ 中，若记 $g, h$ 为任意多项式，就有 $g(x_0)$ 和 $g(x_0)+f(x_0)h(x_0)$ 的值相等．这提示我们，在这种情形下，似乎可以把 $\mathbb{F}(x_0)$ 看成是某个超越元 $x$ 的单扩张 $\mathbb{F}(x)$ 集合中，把 $g(x)$ 和 $g(x)+f(x)h(x)$ 认为是等价的，所得到的商集．实际上，严格来说不是商集，而是商集中再把类似$$\frac{\sum_{i=0}^N a_ix_0^i}{f(x)h(x)}$$的元素剔除以后剩下的集合．当然了，$0$ 不要剔除．

域的扩张次数

　　 以上，我们讨论了如何添加一个元素，并根据元素的最小多项式来得到域的单扩张．对一个域进行单扩张以后，再进行单扩张，如此反复，我们可以获得域的多次扩张．

         

© 小时科技 保留一切权利