外导数

Prerequisite　微分形式，外代数

外导数的定义

　　外导数是一种流形上的微分形式外代数¹上的映射，其术语分为两部分，“外” 和 “导数”．“外”，指的是它把各 $\Omega^k(M)$ 中的元素映射到 $\Omega^k(M)$之外；“导数”，指的是它具有和求导类似的性质．实际上，矢量分析中的求导就是外导数的一个特例——你可能会问，求导并不具有 “外” 的特点，怎么就是特例了呢？我们会在本节中解释这一点．

Definition 1　外导数

　　给定流形 $M$，其外微分代数是 $\Omega (M)$．定义映射 $ \,\mathrm{d}{:} \Omega (M)\rightarrow\Omega (M)$，满足：

$\forall \omega\in\Omega^k(M)$，有 $ \,\mathrm{d}{\omega} \in\Omega^{k+1}(M)$．
对于光滑函数 $f\in C^\infty(M)$，$ \,\mathrm{d}{f} $ 就是 $f$ 的方向导数（1-形式）．
线性性：任取 $a, b\in \mathbb{R}$ 和 $\omega, \mu\in\Omega(M)$，有 $ \,\mathrm{d}\left(a\omega+b\mu \right) =a \,\mathrm{d}{\omega} +b \,\mathrm{d}{\mu} $．
Leibniz 性：对于 $\omega\in\Omega^k(M), \mu\in\Omega^1(M)$，我们有 $ \,\mathrm{d}\left(\omega\wedge\mu \right) =\omega\wedge \,\mathrm{d}{\mu} +(-1)^k\mu\wedge \,\mathrm{d}{\omega} $²．
幂零性：任取 $\omega\in\Omega(M)$，都有 $ \,\mathrm{d}\left( \,\mathrm{d}{\omega} \right) =0$．

　　称这个映射为 $\Omega (M)$ 或者说 $M$ 上的一个外导数，又称外微分．

　　定义中的 Leibniz 性要特别注意．考虑到外积的反对称性，我们也完全可以把这一条写成 $ \,\mathrm{d}\left(\omega\wedge\mu \right) =\omega\wedge \,\mathrm{d}{\mu} +\mu\wedge \,\mathrm{d}{\omega} $．写成定义中减号的形式，是为了更方便计算出诸如 $ \,\mathrm{d}\left( \,\mathrm{d}{\omega} \wedge\mu\wedge \,\mathrm{d}{\nu} \right) =- \,\mathrm{d}{\omega} \wedge \,\mathrm{d}{\mu} \wedge \,\mathrm{d}{\nu} $ 的结果．

三维欧几里得空间

　　在外代数中我们提到过，$\mathbb{R}^3$ 和 $\bigwedge^2\mathbb{R}^3$ 同构．在流形 $\mathbb{R}^3$ 上，2-形式构成的线性空间 $\Omega^1(\mathbb{R}^3)\cong\mathbb{R}^3$，因为是由基 $\{ \,\mathrm{d}{x} , \,\mathrm{d}{y} , \,\mathrm{d}{z} \}$ 张成的．这样，我们也可以定义 $\Omega^2(\mathbb{R}^3$ 到 $\Omega^1(\mathbb{R}^3)$ 之间的同构．这个同构的存在，意味着我们可以把旋度和散度视为外导数的特例．我们观察以下例子来说明这一点：

旋度

　　考虑 $\mathbb{R}^3$ 中任意的 1-形式 $\omega_x \,\mathrm{d}{x} +\omega_y \,\mathrm{d}{y} +\omega_z \,\mathrm{d}{z} $，其中各 $\omega_i$ 是 0-形式，即光滑函数．考虑到外导数对于光滑函数就是方向导数，我们可以得知，对于任意的 $a\in\{x,y,z\}$，有 $ \,\mathrm{d}{\omega} _a=\partial_x\omega_a \,\mathrm{d}{x} +\partial_y\omega_a \,\mathrm{d}{y} +\partial_z\omega_a \,\mathrm{d}{z} $．这样，我们就可以计算出：

\begin{equation} \begin{aligned} & \,\mathrm{d}\left(\omega_x \,\mathrm{d}{x} +\omega_y \,\mathrm{d}{y} +\omega_z \,\mathrm{d}{z} \right) \\=&(\partial_y\omega_z-\partial_z\omega_y) \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} +\\&(\partial_z\omega_x-\partial_x\omega_z) \,\mathrm{d}{z} \wedge \,\mathrm{d}{x} +\\&(\partial_x\omega_y-\partial_y\omega_x) \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} \end{aligned} \end{equation}

　　如果我们把 $ \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} $ 看成 $ \,\mathrm{d}{x} $、把 $ \,\mathrm{d}{z} \wedge \,\mathrm{d}{x} $ 看成 $ \,\mathrm{d}{y} $、把 $ \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} $ 看成 $ \,\mathrm{d}{z} $，那么eq. 1 右边各项系数刚好对应向量场 $ \begin{pmatrix}\omega_x, \omega_y, \omega_z\end{pmatrix} ^{\mathrm{T}} $ 的旋度．因此，我们把三维欧几里得空间中的旋度，看成是 $\Omega^1(\mathbb{R}^3)\rightarrow\Omega^2(\mathbb{R}^3)$ 的外导数．

散度

　　考虑 $\mathbb{R}^3$ 中任意的 2-形式 $\omega_x \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} +\omega_y \,\mathrm{d}{z} \wedge \,\mathrm{d}{x} +\omega_z \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} $．同样，考虑到 $ \,\mathrm{d}{\omega} _a=\partial_x\omega_a \,\mathrm{d}{x} +\partial_y\omega_a \,\mathrm{d}{y} +\partial_z\omega_a \,\mathrm{d}{z} $，我们可以计算得：

\begin{equation} \begin{aligned} & \,\mathrm{d}\left(\omega_x \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} +\omega_y \,\mathrm{d}{z} \wedge \,\mathrm{d}{x} +\omega_z \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} \right) \\=&(\partial_x\omega_x+\partial_y\omega_y+\partial_z\omega_z) \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} \end{aligned} \end{equation}

　　观察结果的系数可见，2-形式的外导数实际上就是其散度．因此，我们把三维欧几里得空间中的散度，看成是 $\Omega^2(\mathbb{R}^3)\rightarrow\Omega^3(\mathbb{R}^3)$ 的外导数．

Exercise 1　旋度和散度

　　利用外导数的定义，证明eq. 1 和eq. 2 .

梯度

　　由def. 1 的第二条，三维欧几里得空间中的梯度，是 $\Omega^0(\mathbb{R}^3)\rightarrow\Omega^1(\mathbb{R}^3)$ 的外导数．

　　自此，三维空间中的梯度、旋度和散度都可以统一为一个概念了：外导数．值得注意的是，矢量分析中的定理 “梯度的旋度为零” 和 “旋度的散度为零”，可以统一理解为外导数的幂零性：$\mathrm{d}^2=0$．

三维空间的特殊性

　　尝试求解下列代数方程：

\begin{equation} \frac{n(n-1)}{2}=n \end{equation}

　　答案是 $0$ 和 $3$，对吧？非零解只有 $3$，这就是三维空间的特殊之处，也是三维向量分析如此丰富的原因．只有在三维空间中，我们才能用以上外导数的概念来导出散度、旋度等概念．

　　 eq. 3 究竟是什么呢？$n$ 代表的是一个线性空间 $V$ 的维度，而 $n(n-1)/2$ 代表的是 $\bigwedge^2 V$ 的维度．eq. 3 想求解的是，什么情况下 $V$ 会和 $\bigwedge^2 V$ 同构，而 “非零解只有 $3$” 意味着唯一的情况就是，“$V$ 是一个三维空间”．

　　向量叉乘的 “右手定则”，实际上就是一个同构 $f:\bigwedge^2 V\to V$，其中 $V$ 是 $M$ 上各点的微分形式空间，或者说 “余切向量空间”，而 $f( \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} )= \,\mathrm{d}{x} , f( \,\mathrm{d}{z} \wedge \,\mathrm{d}{x} )= \,\mathrm{d}{y} , f( \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} )= \,\mathrm{d}{z} $．我们当然可以定义其它的同构，比如 $f( \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} )=- \,\mathrm{d}{x} , f( \,\mathrm{d}{z} \wedge \,\mathrm{d}{x} )=- \,\mathrm{d}{y} , f( \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} )=- \,\mathrm{d}{z} $ 的同构，此时导出的向量叉乘遵循的就是 “左手定则” 了．

麦克斯韦方程组的外微分形式：前两个方程

未完成：百科中尚未创建 “规范场论” 部分．使用引用 [25]．

　　在 $\mathbb{R}^3$ 中考虑电磁场，三个空间轴分别为 $x, y, z$ 轴．

　　考虑麦克斯韦方程组中的两个方程，$\nabla\cdot \boldsymbol{\mathbf{B}} =0$ 和 $\nabla\times \boldsymbol{\mathbf{E}} =\partial_t \boldsymbol{\mathbf{B}} $．为了尝试用外代数来表达这两个式子，我们就要把 $ \boldsymbol{\mathbf{B}} $ 表示成一个 2-形式 $B=B_z \,\mathrm{d}{x} \wedge \,\mathrm{d}{y} +B_x \,\mathrm{d}{y} \wedge \,\mathrm{d}{z} +B_y \,\mathrm{d}{z} \wedge \,\mathrm{d}{x} $，把 $ \boldsymbol{\mathbf{E}} $ 表示成一个 1-形式 $E=E_x \,\mathrm{d}{x} +E_y \,\mathrm{d}{y} +E_z \,\mathrm{d}{z} $，这样以上两个方程的左边就都可以写成外导数的形式，从而有：

\begin{equation} \,\mathrm{d}{B} =0 \end{equation}

和

\begin{equation} \,\mathrm{d}{E} =\partial_tB \end{equation}

　　其中 $\mathbb{R}^4$ 可以写成三维空间和一维时间的乘积：$\mathbb{R}^3\times\mathbb{R}$．这个四维欧几里得空间中的时间轴记为 $x^0$ 轴，空间轴则记为 $x^1, x^2, x^3$ 轴．要注意在这种表示下，$\partial_tB$ 就成了 $\partial_0B$．

　　此时，如果我们用一个统一的 2-形式 $F=B+E\wedge \,\mathrm{d}{x} ^0$ 来表示电磁场³，那么eq. 4 和eq. 5 就可以统一用一个式子来表达：

\begin{equation} \,\mathrm{d}{F} =0 \end{equation}

　　证明过程此处略去，留给规范场论部分中相关章节来处理．麦克斯韦方程组的剩下两个方程的表示，参见霍奇星算子词条．

1. ^ 即流形上的余切向量场集合作为线性空间所生成的外代数．
2. ^ 注意 $\mu$ 特指 1-形式．
3. ^ 电场外积一个 $ \,\mathrm{d}{x} ^0$ 是为了凑成合适的 2-形式．

外导数