1本文使用原子单位制．Sommerfeld 模型和玻尔原子模型一样属于量子力学发展早期的半经典原子模型，它对玻尔模型进行了改进，能更好地符合一些实验结果（如塞曼效应）．玻尔模型假设电子以圆形轨道绕原子核旋转，而 Sommerfeld 模型使用椭圆轨道．为了简单我们同样先假设原子核固定不动，要考虑原子核运动使用相对坐标和约化质量即可．
Sommerfeld 模型中，轨道量子化的条件有两个
\begin{equation}
L = l
\end{equation}
\begin{equation}
\oint m\dot r \,\mathrm{d}{r} = kh
\end{equation}
其中 $L$ 是轨道角动量的模长，$l, k$ 是正整数，$h$ 是普朗克常数（原子单位制下等于 $2\pi$），$r$ 是电子到原子核的距离，$\dot r$ 表示 $r$ 的时间导数，$\oint$ 表示对椭圆轨道的一周环积分．
根据这两个量子化条件，可以由量子数 $k, l$ 唯一地确定椭圆轨道的形状和大小，可以证明轨道总能量为
\begin{equation}
E = -\frac{Z^2}{2n^2}
\end{equation}
其中
\begin{equation}
n = l + k
\end{equation}
注意由于 $k$ 是正整数，$l$ 必须满足 $0 < l < n$．
数值验证
下面来验证eq. 3 ，eq. 4 符合量子化条件eq. 2 ．这是一个中心力场问题，把eq. 14 和eq. 1 代入eq. 2 得
\begin{equation}
2\int_{a-c}^{a+c} \sqrt{2m \left(E + \frac{Z}{r} - \frac{l^2}{2mr^2} \right) } \,\mathrm{d}{r} = kh
\end{equation}
注意
eq. 2 中的环积分可以被替换为两个相等的积分，即从椭圆轨道的近日点 $a-c$ 积分到远日点 $a+c$（详见 “椭圆的三种定义
”），在从远日点积分到近日点
2．在开普勒问题中，椭圆的离心率 $e$ 和参数 $a, c$ 可以用能量和角动量表示（
eq. 4 ，
eq. 5 ）
\begin{equation}
e = \frac{c}{a} = \sqrt{1 + \frac{2EL^2}{mZ^2}}
\qquad
a = \frac{Z}{2 \left\lvert E \right\rvert }
\end{equation}
把
eq. 3 ，
eq. 4 和
eq. 6 代入
eq. 5 ，若等式两边对所有的 $l,k > 0$ 成立则说明满足量子化条件．由于该积分较为复杂，我们姑且用 Matlab 进行数值积分（连接未完成）．注意原子单位中 $h = 2\pi$．
l = 2; k = 1; n = l + k;
Z = 1; h = 2*pi;
E = -Z^2/(2*n^2);
me = 1;
a = abs(k)/(2*abs(E)); b = l/sqrt(2*me*abs(E));
c = sqrt(a^2 - b^2);
f = @(r)real(sqrt(2*me*(E + Z./r - l^2./(2*me*r.^2))));
r = linspace(a-c, a+c, 500);
figure; plot(r, f(r));
I = 2*integral(f, a - c, a + c);
rel_err = (I - h*k)/(h*k);
disp('relative error =');
disp(rel_err);
运行结果：
relative error =
1.4136e-16
读者也可以把 $k, l$ 替换成其他正整数进行验证．
1. ^ 参考 Wikipedia 相关页面
．
2. ^ “近日点” 和 “远日点” 是开普勒问题中的习惯叫法，无论中心是天体还是原子核．