无相对转动
类比eq. 1 ，若两个参考系之间只有平移没有转动，令某时刻点 $P$ 相对于 $S$ 系和 $S'$ 系的加速度分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _S$ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'}$，再令两坐标系中任意两个固定点（例如各自的原点）之间的加速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _r$，那么有
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _S = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{a}} _r
\end{equation}
同样地，如果要将该式写成分量的形式，三个矢量必须使用同一坐标系（见
ex. 1 ）．
一般情况
类比eq. 2 ，若两参考系之间有可能存在转动，牵连加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{r}$ 的定义会变得比牵连速度 $ \boldsymbol{\mathbf{v}} _r$ 更微妙，因为牵连速度与坐标系选取无关，而牵连加速度却有关！ 我们举例解释．
Example 1 牵连加速度
令 $S'$ 系原点沿着 $S$ 系的单位矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{x}} $ 匀速运动，且相对 $S$ 系以恒定角速度矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} = 2 \boldsymbol{\mathbf{y}} $ 转动．令 $t = 0$ 时两系完全重合，且点 $P$ 恰好经过原点．我们来讨论此刻原点处的牵连速度．
显然，两参考系 $t = 0$ 时刻的固定点就是各自的原点 $O_S$ 和 $O_{S'}$．$O_{S'}$ 延 $S$ 系的 $x$ 轴匀速运动，所以 $S$ 系的观察者会认为牵连加速度为零．然而在 $S'$ 系的观察者看来，$O_S$ 始终在做速度不为零的曲线运动，所以 $t = 0$ 时牵连加速度不为零．
我们在 $S$ 系中讨论问题．定义 $t$ 时刻点 $P$ 在 $S'$ 系中的固定点相对于 $S$ 系的加速度为 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{r}$．那么可以证明（比eq. 1 多出了一项）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _S = \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} + \boldsymbol{\mathbf{a}} _{r} + 2 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}
\end{equation}
其中 $ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} $ 是 $S'$ 系相对于 $S$ 系的瞬时角速度．最后一项被称为
科里奥利加速度（Coriolis Acceleration）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _c = 2 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}
\end{equation}
若我们把 $S'$ 相对于 $S$ 的运动分解为原点的平移加绕原点的转动，那么牵连加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _r$ 也可以分解为平移加速度和旋转加速度的矢量和，而旋转加速度又可以分为向心加速度和角加速度引起的切向加速度．
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _{r} = \boldsymbol{\mathbf{a}} _T + \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times ( \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}} ) + \dot{ \boldsymbol{\mathbf{\omega}} } \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{r}}
\end{equation}
其中平移加速度 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _T$ 的定义为 $S'$ 系原点相对于 $S$ 系原点（关于 $S$ 系）的加速度．
证明（旋转矩阵）
我们在 $S$ 系中以坐标的形式证明eq. 2 ，即式中的矢量都看作是 $S$ 系中的三个坐标．令点 $P$ 在两系中的坐标分别为 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _S(t) = (x, y, z) ^{\mathrm{T}} $ 和 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'}(t) = (x', y', z') ^{\mathrm{T}} $，且坐标变换可以用一个旋转矩阵 $ \boldsymbol{\mathbf{R}} (t)$ 和一个平移矢量 $ \boldsymbol{\mathbf{d}} (t)$ 表示为
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{r}} _S = \boldsymbol{\mathbf{R}} \boldsymbol{\mathbf{r_{S'}}} + \boldsymbol{\mathbf{d}}
\end{equation}
两边关于时间求导得
1
\begin{equation}
\dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_S = \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \boldsymbol{\mathbf{r_{S'}}} + \boldsymbol{\mathbf{R}} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'}+ \dot{ \boldsymbol{\mathbf{d}} }
\end{equation}
再求导并整理得
\begin{equation}
\ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_S = \boldsymbol{\mathbf{R}} \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'} + (\ddot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'} + \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{d}} }) + 2 \dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'}
\end{equation}
下面我们只需证明这三项分别对应
eq. 2 的各项即可．
在 $S$ 系中，显然有 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _S = \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_S$．$P$ 在 $S'$ 系中的加速度为 $\ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'}$，乘以旋转矩阵就变换到 $S$ 系中，所以 $ \boldsymbol{\mathbf{a}} _{S'} = \boldsymbol{\mathbf{R}} \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'}$．
若 $S'$ 系中的固定点 $ \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'}$ 不随时间变化，则求二阶导数得 $S'$ 系中固定点相对于 $S$ 系中固定点的加速度（在 $S$ 系中的坐标）
\begin{equation}
\boldsymbol{\mathbf{a}} _r = \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \boldsymbol{\mathbf{r}} _{S'} + \ddot{ \boldsymbol{\mathbf{d}} }
\end{equation}
再来看eq. 7 最后一项，将eq. 1 代入，得
\begin{equation}
2\dot{ \boldsymbol{\mathbf{R}} } \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'} = 2 \boldsymbol{\mathbf{\Omega}} ( \boldsymbol{\mathbf{R}} \dot{ \boldsymbol{\mathbf{r}} }_{S'}) = 2 \boldsymbol{\mathbf{\omega}} \boldsymbol\times \boldsymbol{\mathbf{v}} _{S'}
\end{equation}
这就是
eq. 2 的最后一项．证毕．
1. ^ 用一点表示时间导数，两点表示时间二阶导数