贡献者： 零穹; addis
在常微分方程中，我们曾提到形如 $y^{(N)}=f(x)$ 的 $N$ 阶微分方程可通过 $N$ 次积分求得通解。为了之后引入记号方法方便，本节将具体讨论该方程。
方程
\begin{equation}
y^{(N)}=f(x)~
\end{equation}
的通解具有形式
\begin{equation}
y=y_1+\sum_{i=0}^{N-1}C_ix^i~.
\end{equation}
其中，$y_1$ 是
式 1 的任意一个特殊解。
特殊地，若式 1 满足下列零初始条件
\begin{equation}
y|_{x=x_0}=0,\quad y'|_{x=x_0}=0\quad\cdots \quad y^{(N-1)}|_{x=x_0}=0~.
\end{equation}
则
式 1 满足初始条件
式 3 的解 $y_1(x)$ 为
\begin{equation}
y_1(x)=\frac{1}{(N-1)!}\int_{x_0}^x(x-t)^{N-1}f(t) \,\mathrm{d}{t} ~.
\end{equation}
方程
式 1 的通解则为
\begin{equation}
y(x)=\frac{1}{(N-1)!}\int_{x_0}^x(x-t)^{N-1}f(t) \,\mathrm{d}{t} +\sum_{i=0}^{N-1}C_ix^i~.
\end{equation}
1. 证明
先来求方程式 1 的一般积分公式。设 $y_1(x)$ 是方程式 1 的任何一个解，就是
\begin{equation}
y_1^{(N)}=f(x)~,
\end{equation}
引入未知函数 $z$
\begin{equation}
y=y_1(x)+z~.
\end{equation}
代入
式 1 ，得到一个关于 $z$ 的方程
\begin{equation}
y_1^{(N)}+z^{(N)}=f(x)~.
\end{equation}
根据恒等式
式 6
\begin{equation}
z^{(N)}=0~.
\end{equation}
这意味着函数 $z$ 是具有任何常系数的 $N$ 次多项式
\begin{equation}
z=\sum_{i=0}^{N-1}C_ix^i~,
\end{equation}
于是
式 7 给出方程
式 1 的一般积分
\begin{equation}
y=y_1+\sum_{i=0}^{N-1}C_ix^i~.
\end{equation}
即方程
式 1 的一般积分是这方程的任何一个特殊解与具有任意常系数的 $N-1$ 次多项式之和。
这样，剩下的任务就是证明方程式 1 满足初始条件式 3 的解为式 4 。为此，将 $y(x)$ 写成余项具有积分形式的泰勒公式（式 18 ）
\begin{equation}
y(x)=\sum_{i=0}^{N}\frac{y^{(i)}(x_0)}{i!} \left(x-x_0 \right) ^{i}+\frac{1}{(N-1)!}\int_{x_0}^{x}(x-t)^{N-1}y^{(N)}(t) \,\mathrm{d}{t} ~,
\end{equation}
代入初始条件
式 3 和
式 1 到上式，即得
式 4 .
正如所说的，方程式 1 的解可通过 $N$ 次积分求得，那么满足初值条件式 3 的解为
\begin{equation}
y=\int_{x_0}^x \,\mathrm{d}{x} \int_{x_0}^x \,\mathrm{d}{x} \cdots\int_{x_0}^{x} \,\mathrm{d}{x} \int_{x_0}^{x}f(x) \,\mathrm{d}{x} ~.
\end{equation}
这样，
式 4 给出了 $N$ 次积分
式 13 的一次积分形式的表达式。