贡献者： 零穹
本节介绍自治系统（定义 2 ）解的分类。概括来说，自治系统的解（或轨线）有三种情形：
- 定点解，即轨线成为个不依赖自变量 $x$ 的点，称为平衡位置；
- 周期解，即轨线自身相交，称为闭轨线或圈(环);
- 自身不相交的轨线。
定理 1
设 $y^i=\varphi_i(x)$ 是自治系统的解，其最大存在区间为 $(m_1,m_2)$，并且存在 $m_1< x_1\neq x_2< m_2$，满足
\begin{equation}
\varphi_i(x_1)=\varphi_i(x_2)~.
\end{equation}
则 $m_1=-\infty,m_2=+\infty$，且
要么：对一切值 $x$ 成立 $\varphi_i(x)=a^i$，其中 $a^i$ 是与 $x$ 无关的常数，这时轨线成为解的定义空间中的点。此时解本身称为
平衡位置。
要么：存在正数 $T$，使得对任意 $t$ 成立
\begin{equation}
\varphi_i(x+T)=\varphi_i(x)~.
\end{equation}
且当 $ \left\lvert \tau_1-\tau_2 \right\rvert < T$ 时，至少对一个 $i$，成立 $\varphi_i(\tau_1)\neq\varphi_i(\tau_2)$。此时解称为
周期的，$T$ 称为
最小正周期。此时轨线称为
闭轨线或
圈（环）。
在证明定理前，先定义解的周期概念。
定义 1 周期
满足式 2 的 $T$ 称为解 $y^i=\varphi_i(x)$ 的周期。
$T$ 之所以是最小的正周期，是因为否则的化，将会存在 $T_1< T$，使得 $\varphi_i(x+T_1)=\varphi_i(x)$，那么对任意 $\tau_2=\tau_1+T_1$，成立 $\varphi_i(\tau_1)=\varphi_i(\tau_2)$，然而此时 $ \left\lvert \tau_1-\tau_2 \right\rvert =T_1< T$，结果与 $\varphi_i(\tau_1)\neq\varphi_i(\tau_2)$ 矛盾。所得矛盾证明了定理中的 $T$ 是最小正周期。
定理 2 周期集的性质
设 $F$ 是解的所有周期构成的集合，则 $F$ 是闭的，且其配合加法构成一群。
证明：将 $x$ 换成 $x-T$, 就有 $\varphi_i(x)=\varphi_i(x-T)$，于是 $-T$ 也是周期。设 $T_1,T_2\in F$，则
\begin{equation}
\varphi_i((x+T_1)+T_2)=\varphi_i(x+T_1)=\varphi_i(x)~.
\end{equation}
因此此 $T_1+T_2$ 是周期。于是 $F$ 在加法下构成群。
闭集是集的任意收敛点都在集中的集合（定义 4 ）。所以要证 $F$ 闭，只需对任意收敛于 $T_0$ 的周期序列 $T_1,\cdots, T_m,\cdots$，证明
\begin{equation}
\varphi_i(x+T_0)=\varphi_i(x)~
\end{equation}
即可。由于
\begin{equation}
\varphi_i(x+T_m)=\varphi_i(x)~
\end{equation}
恒成立，并且 $\varphi_i(x)$ 连续，所以
\begin{equation}
\lim_{m\rightarrow\infty}\varphi_i(x+T_i)=\lim_{m\rightarrow\infty}\varphi_i(x)~.
\end{equation}
即 $\varphi_i(x+T_0)=\varphi_i(x)$。
证毕！
推论 1
周期集 $F$ 要么是实数集 $\mathbb R$，要么成为 $F=\{mT|m\in\mathbb Z\}$ 而 $T$ 是最小正周期。
证明：
若周期集 $F$ 中无最小正数，也即对任意 $\epsilon$, 有正周期 $c<\epsilon$，由 $F$ 是加法群，所以 $mc$（$m$ 是整数）是周期。任意实数 $c_0$，可选取满足
\begin{equation}
(c_0-\epsilon)/c< c_0/c-1< m< c_0/c+1<(c_0+\epsilon)/c~
\end{equation}
的整数 $m$，于是有 $ \left\lvert mc-c_0 \right\rvert <\epsilon$。于是 $c_0$ 是 $F$ 的收敛点（
定义 3 ）。由 $F$ 是闭的，有 $c_0\in F$，由于 $F$ 的元素必定是实数，而现在任意实数都在 $F$ 中，所以 $F=\mathbb R$。
若 $F$ 有最小正数 $T$，任意 $c\in F$，可取满足
\begin{equation}
(-T+c)/T=-1+c/T< m<(T+c)/T=1+c/T~
\end{equation}
的整数，于是 $ \left\lvert c-mT \right\rvert < T$。若 $c\neq mT$，那么由 $F$ 是加法群，$ \left\lvert c-mT \right\rvert $ 是小于 $T$ 周期，这就与 $T$ 是最小正周期相矛盾，于是只能有 $c=mT$.
证毕！
证明：由式 1 ，并根据定理 2
\begin{equation}
\varphi_i(x)=\varphi_i(x+x_1-x_2)~.
\end{equation}
由此，区间 $(m_1-x_1+x_2,m_2-x_1+x_2)$ 应合于 $(m_1,m_2)$，于是 $m_1=-\infty,m_2=+\infty$。
式 9 也表明 $x_1-x_2$ 是解的周期。由
推论 1 ，此时解的周期集要么是实数集，即任意 $x$，都有
\begin{equation}
\varphi_i(x)=\varphi_i(x_1+(x-x_1))=\varphi(x_1)=a_i~.
\end{equation}
这表明解是平衡位置；要么有最小正周期，这表明解是周期解。
证毕！