贡献者： 叶月2_; addis
1. 概念
设 $K$ 与 $K'$ 为两个坐标原点重合的惯性系。在开始计时后，$K'$ 相对 $K$ 有沿着 $x$ 轴的相对速度。从 $0$ 时刻开始，光信号沿着 x 轴运动，设其在两个参考系的时空坐标分别为 $(t,x,y,z)$ 与 $(t',x',y',z')$，由光速不变，我们有：
$$ds^2=ct^2-x^2-y^2-z^2=ct'^2-x'^2-y'^2-z'^2~.$$
从直观上，这看起来是坐标矢量 $(t,x,y,z)$“长度” 的平方不随惯性系的改变而改变。准确来说，是其逆变矢量和协变矢量的对偶内积。形式化这个运算，该闵氏时空下的度规为 $\eta_{\mu\nu}=diag(+1,-1,-1,-1) $，设光速为 1，我们有
\begin{equation}
x^\mu x_\mu =\eta_{\mu\nu}x^\mu x^\nu=\eta_{\rho \sigma}x'^\rho x'^\sigma~,
\end{equation}
这意味着改变惯性系相当于对原坐标矢量进行保距变换，即正交线性变换，我们把这个正交线性变换称之为洛伦兹变换。设洛伦兹变换矩阵为 $\Lambda$，在矩阵下，这个线性变换表示为：$x^T x=x^T\Lambda^{-1}\Lambda x$，通常用 $\Lambda^\mu_\nu $ 的形式表示矩阵，配合指标表示法进行运算。那么把该矩阵回代式 1 我们有
\begin{equation}
\Lambda^\rho_\nu x^\nu=x^\rho~,
\end{equation}
\begin{equation}
\eta_{\mu\nu}=\eta_{\rho \sigma}\Lambda^\rho_\nu \Lambda^\sigma_\mu~,
\end{equation}
利用坐标矢量的洛伦兹变换，我们可以把很多物理量扩展成四维形式。
习题 1 力学实例
利用洛伦兹变换，构建内积不变的速度与动量。
提示：利用标量是洛伦兹不变的，矢量与标量相乘。
习题 2 梯度算符
证明：梯度算符（分量为 $\partial_\mu=\frac{\partial}{\partial x^\mu}$）在洛伦兹变换下恰似一协变矢量
如无特别说明，一般坐标矢量都是指逆变矢量，即主空间向量，指标在上侧（可视为列向量，则相应的，协变矢量是行向量）。由式 2 我们得：
\begin{equation}
\Lambda^\mu_\nu=\frac{\partial x'^\mu}{\partial x^\nu}~,
\end{equation}
对于逆矩阵，则有
\begin{equation}
(\Lambda^{-1})^\mu_\nu=\frac{\partial x^\mu }{\partial x'_\nu}~,
\end{equation}
因此，通过链式法则可求证。
相应的，对协变坐标矢量求梯度为梯度算符的逆变形式。达朗贝尔算符 $\partial_\mu\partial^u$ 为标量算符，在洛伦兹变换下不变。
2. 电动力学实例
电流密度
任一区域内的电荷总量不随参考系的改变而改变。那么，我们写下电荷守恒定律的微分形式
\begin{equation}
\frac{\partial\rho}{\partial t}+\nabla \cdot J=0~,
\end{equation}
通过习题 2，我们可以知道，如果把电流密度扩展为四矢量 $(\rho,\boldsymbol{ J}$，那么上式可以写为
\begin{equation}
\partial_\mu J^\mu=0~,
\end{equation}
显然，这是一个洛伦兹协变方程。但这样的扩展到底是否可行呢？我们需要检验电流密度是否满足洛伦兹变换。设 $\rho_0$ 为该区域的电荷密度（以粒子为参考系），若带电粒子速度为 $v$,则 $\boldsymbol{ J}=\rho \boldsymbol{ v}$。由于转换惯性系时，线元仅在 boost 的方向上收缩，那么由于粒子运动带来的体积元变化为 $dV'=\frac{1}{\gamma}dV$，则 $\rho=\gamma\rho_0$，因此四维矢量为 $(\gamma\rho_0,\gamma\rho_0\boldsymbol{v})$，即 $\rho_0U^\mu$，标量乘以四速度矢量，显然是符合洛伦兹变换的。
矢势
将矢势引入电磁场后，电场的旋度可以表示为
\begin{equation}
\nabla \times\left(\boldsymbol{E}+\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}\right)=0~,
\end{equation}
由于对梯度函数取旋度为 0，因而可以引入一标势 $\phi$，从而将上式的括号项表示为
\begin{equation}
\boldsymbol{E}+\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}=-\nabla \varphi~,
\end{equation}
能产生物理意义的是
\begin{equation}
\boldsymbol{E}=-\nabla \varphi-\frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial t}~,
\end{equation}
以及
\begin{equation}
\boldsymbol{B}=\nabla \times \boldsymbol{A}~,
\end{equation}
可以看到，如果做规范变换，使得
\begin{equation}
\boldsymbol{A}^{\prime}=\boldsymbol{A}+\nabla \psi,
\varphi^{\prime}=\varphi-\frac{\partial \psi}{\partial t}~,
\end{equation}
不会产生观测上的不同结果。该规范变换可以写为任意函数的四散度项 $\partial^\mu \psi$，由于标势加的是时间项，因而提示我们该矢势的扩展为 $(\phi,\boldsymbol A)$。（如无特别说明，矢量都是指代逆变矢量）
3. 拓展：洛伦兹张量
我们知道，张量实际上是多重线性映射，而洛伦兹张量则默认了基变换的过渡矩阵为洛伦兹矩阵。以二阶张量 $F^{\mu\nu} $ 为例，
\begin{equation}
F'^{\mu\nu}=\Lambda_\rho^\mu \Lambda_\sigma^\nu F^{\rho\sigma} ~,
\end{equation}
\begin{equation}
F'_{\mu\nu}=(\Lambda^{-1})_\mu^\rho (\Lambda^{-1})_\nu^\sigma F_{\rho\sigma}~,
\end{equation}