斜坐标系

                     

贡献者： JierPeter

预备知识　直角坐标系，几何矢量

　　 斜坐标系是通常的直角坐标系的延伸。以二维空间中为例，任取两根相互不平行的坐标轴 $x$ 和 $y$，都能对平面上任意一点 $P$ 进行定位，方法是认为坐标轴上已经给定了标尺，从 $P$ 处画一条平行于 $y$ 轴的直线，它与 $x$ 轴相交处的标尺数值即为 $P$ 的 $x$ 坐标；类似地，画一条平行于 $x$ 轴的直线，它与 $y$ 轴相交处的标尺数值即为 $P$ 的 $y$ 坐标。

图
图 1：一个斜坐标系的示意图。图中 $x$、$y$ 两轴的夹角是 $72.9^\circ$，两轴的标尺已经给出。在这个坐标系中，$P$ 的坐标是 $<2.5, 4>$。

　　 斜坐标系的标尺不一定是均匀的。事实上，只要标尺数值沿着坐标轴的方向一直递增就可以。

1. 与直角坐标的转换

　　 为方便计，我们只考虑标尺均匀的斜坐标系。

　　 给定直角坐标系 $xOy$，由相互垂直的 $x$ 轴和 $y$ 轴构成，两轴交于原点 $O$。另给定斜坐标系 $x'Oy'$，由 $x'$ 轴和 $y'$ 轴构成，两轴在直角坐标系中的斜率分别为 $T_x=\tan{\theta_x}$ 和 $T_y=\cot{\theta_y}$，也相交于原点 $O$。

图
图 2：本小节中所使用的坐标系和点示意图。

　　 如果把两个斜坐标轴看成直角坐标轴中的直线，那么我们可以研究斜坐标轴上两点之间的距离。假设取定 $x'$ 轴上一点 $R$，在直角坐标系中，$R$ 到 $O$ 的距离是 $|RO|$。如果 $x'$ 轴和 $x$ 轴用相同的标尺，那么 $R$ 在斜坐标系中的坐标应该是 $(|RO|, 0)$。但是，如果 $x'$ 轴和 $x$ 轴所用的标尺不一样，那么 $R$ 在斜坐标系中的坐标 $(R_{x'},0)$ 就不再等于 $(|RO|, 0)$。这个时候，为了方便描述斜坐标系的标尺，我们引入一个新的概念：拉伸比例。

　　 如果把 $x'$ 轴看成可压缩和伸长的轴线，那么当它被拉伸时，其标尺 “密度” 会下降，也就是说，$x'$ 轴上标尺数值为 $1$ 的点到 $O$ 的距离会越来越大。$x'$ 轴伸长的比例，被称为 $x'$ 轴的拉伸比例，大小为 $|RO|/R_{x'}$。这样一来，如果 $x'$ 轴的拉伸比例是 $r_x$，那么在直角坐标系中 $x'$ 轴上长度为 $L$ 的线段，在斜坐标系中长度就是 $L/r_x$。

　　 设有点 $P$，其直角坐标为 $(x_0, y_0)$，斜坐标为 $(x'_0, y_0')$。在直角坐标系中，把两条斜坐标轴和两条平行斜坐标轴而穿过 $P$ 的直线方程写出来，分别联立，可以解出 $P$ 的斜坐标投影的直角坐标，进而得到投影点在直角坐标系中到 $O$ 的长度，将其除以拉伸比例后即可得到相应的 $x'$ 和 $y'$ 坐标。

例 1　斜坐标系的转化

　　 对于在直角坐标系中的斜率分别为 $T_x=\tan{\theta_x}$ 和 $T_y=\cot{\theta_y}$，也相交于原点 $O$ 的斜坐标轴，若 $x'$ 和 $y'$ 的拉伸比例分别为 $r_x$ 和 $r_y$，且点 $P$ 的直角坐标为 $(x_0, y_0)$，求证 $P$ 的斜坐标为 $(x_0', y_0')=(\frac{y_0-T_yx_0}{T_x-T_y}\cdot\frac{\sqrt{1+T_x^2}}{r_x}, \frac{y_0-T_xx_0}{T_y-T_x}\cdot\frac{\sqrt{1+T_y^2}}{r_y})$

　　 证明：

　　 $x'$ 轴在直角坐标系中的表达式为 $y=T_xx$，将它和过 $P$ 且平行于 $y'$ 轴的直线 $y=T_yx+y_0-T_yx_0$ 联立，解得 $P$ 在 $x'$ 轴上投影的位置 $(\frac{y_0-T_yx_0}{T_x-T_y}, \frac{y_0-T_yx_0}{T_x-T_y}\cdot T_x)$，其到 $O$ 的距离为 $\frac{y_0-T_yx_0}{T_x-T_y}\cdot\sqrt{1+T_x^2}$。考虑到拉伸比例 $r_x$，可知 $P$ 在斜坐标系中的 $x'$ 坐标为：$\frac{y_0-T_yx_0}{T_x-T_y}\cdot\sqrt{1+T_x^2}/r_x$。

　　 同理可解得1$P$ 在斜坐标系中的 $y'$ 坐标为：$\frac{y_0-T_xx_0}{T_y-T_x}\cdot\sqrt{1+T_y^2}/r_y$。

　　 证毕。

2. 与几何向量的联系

　　 把直角坐标系中的点 $P=(x_0, y_0)$ 可以看成是从原点 $O$ 指向 $P$ 的向量 $\overrightarrow{OP}$。令沿着 $x$ 轴正方向的单位向量为 $\mathbb{e_x}$，沿着 $y$ 轴正方向的单位向量为 $\mathbb{e_y}$，那么有 $\overrightarrow{OP}=x_0\mathbb{e_x}+y_o\mathbb{e_y}$。

　　 从原点出发给定 $x'$ 轴，$y'$ 轴，以及它们的拉伸比例 $r_x$，$r_y$。令沿着 $x'$ 轴正方向的单位向量为 $\mathbb{e_{x'}}$，沿着 $y'$ 轴正方向的单位向量为 $\mathbb{e_{y'}}$，点 $P$ 在此斜坐标系中的坐标为 $(x_0',y_0')$，那么有 $\overrightarrow{OP}=x'_0r_x\mathbb{e_{x'}}+y'_or_y\mathbb{e_{y'}}$。

　　 也就是说，斜坐标可以看成是以 $r_x\mathbb{e_{x'}}$ 和 $r_y\mathbb{e_{y'}}$ 作为基底来表达的 $\overrightarrow{OP}$ 的分量。

1. ^ 也可以利用对称性，将上式中一切 $x$ 和 $y$ 对换得到。

                     

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