斜坐标系

贡献者： JierPeter

　　 斜坐标系是通常的直角坐标系的延伸。以二维空间中为例，任取两根相互不平行的坐标轴 $x$ 和 $y$，都能对平面上任意一点 $P$ 进行定位，方法是认为坐标轴上已经给定了标尺，从 $P$ 处画一条平行于 $y$ 轴的直线，它与 $x$ 轴相交处的标尺数值即为 $P$ 的 $x$ 坐标；类似地，画一条平行于 $x$ 轴的直线，它与 $y$ 轴相交处的标尺数值即为 $P$ 的 $y$ 坐标。

　　 斜坐标系的标尺不一定是均匀的。事实上，只要标尺数值沿着坐标轴的方向一直递增就可以。

1. 与直角坐标的转换

　　 为方便计，我们只考虑标尺均匀的斜坐标系。

　　 给定直角坐标系 $xOy$，由相互垂直的 $x$ 轴和 $y$ 轴构成，两轴交于原点 $O$。另给定斜坐标系 $x^{\prime }O{y}^{\prime }$，由 $x^{\prime }$ 轴和 $y^{\prime }$ 轴构成，两轴在直角坐标系中的斜率分别为 $T_x=\tan {\theta }_x$ 和 $T_y=\cot {\theta }_y$，也相交于原点 $O$。

　　 如果把两个斜坐标轴看成直角坐标轴中的直线，那么我们可以研究斜坐标轴上两点之间的距离。假设取定 $x^{\prime }$ 轴上一点 $R$，在直角坐标系中，$R$ 到 $O$ 的距离是 $|RO|$。如果 $x^{\prime }$ 轴和 $x$ 轴用相同的标尺，那么 $R$ 在斜坐标系中的坐标应该是 $(|RO|,0)$。但是，如果 $x^{\prime }$ 轴和 $x$ 轴所用的标尺不一样，那么 $R$ 在斜坐标系中的坐标 $(R_{x^{\prime }},0)$ 就不再等于 $(|RO|,0)$。这个时候，为了方便描述斜坐标系的标尺，我们引入一个新的概念：拉伸比例。

　　 如果把 $x^{\prime }$ 轴看成可压缩和伸长的轴线，那么当它被拉伸时，其标尺 “密度” 会下降，也就是说，$x^{\prime }$ 轴上标尺数值为 $1$ 的点到 $O$ 的距离会越来越大。$x^{\prime }$ 轴伸长的比例，被称为 $x^{\prime }$ 轴的拉伸比例，大小为 $|RO|/R_{x^{\prime }}$。这样一来，如果 $x^{\prime }$ 轴的拉伸比例是 $r_x$，那么在直角坐标系中 $x^{\prime }$ 轴上长度为 $L$ 的线段，在斜坐标系中长度就是 $L/r_x$。

　　 设有点 $P$，其直角坐标为 $(x_0,y_0)$，斜坐标为 $(x_0^{\prime },y_0^{\prime })$。在直角坐标系中，把两条斜坐标轴和两条平行斜坐标轴而穿过 $P$ 的直线方程写出来，分别联立，可以解出 $P$ 的斜坐标投影的直角坐标，进而得到投影点在直角坐标系中到 $O$ 的长度，将其除以拉伸比例后即可得到相应的 $x^{\prime }$ 和 $y^{\prime }$ 坐标。

　　 证明：

　　 $x^{\prime }$ 轴在直角坐标系中的表达式为 $y=T_{x}x$，将它和过 $P$ 且平行于 $y^{\prime }$ 轴的直线 $y=T_{y}x+y_0-T_y{x}_0$ 联立，解得 $P$ 在 $x^{\prime }$ 轴上投影的位置 $(\frac{y_0-T_y{x}_0}{T_x-T_y},\frac{y_0-T_y{x}_0}{T_x-T_y}\cdot T_x)$，其到 $O$ 的距离为 $\frac{y_0-T_y{x}_0}{T_x-T_y}\cdot \sqrt{1+T_x^2}$。考虑到拉伸比例 $r_x$，可知 $P$ 在斜坐标系中的 $x^{\prime }$ 坐标为：$\frac{y_0-T_y{x}_0}{T_x-T_y}\cdot \sqrt{1+T_x^2}/r_x$。

　　 同理可解得¹$P$ 在斜坐标系中的 $y^{\prime }$ 坐标为：$\frac{y_0-T_x{x}_0}{T_y-T_x}\cdot \sqrt{1+T_y^2}/r_y$。

　　 证毕。

2. 与几何向量的联系

　　 把直角坐标系中的点 $P=(x_0,y_0)$ 可以看成是从原点 $O$ 指向 $P$ 的向量 $\overrightarrow{OP}$。令沿着 $x$ 轴正方向的单位向量为 ${\mathbb{e}}_{\mathbb{x}}$，沿着 $y$ 轴正方向的单位向量为 ${\mathbb{e}}_{\mathbb{y}}$，那么有 $\overrightarrow{OP}=x_0{\mathbb{e}}_{\mathbb{x}}+y_o{\mathbb{e}}_{\mathbb{y}}$。

　　 从原点出发给定 $x^{\prime }$ 轴，$y^{\prime }$ 轴，以及它们的拉伸比例 $r_x$，$r_y$。令沿着 $x^{\prime }$ 轴正方向的单位向量为 ${\mathbb{e}}_{{\mathbb{x}}^{\prime }}$，沿着 $y^{\prime }$ 轴正方向的单位向量为 ${\mathbb{e}}_{{\mathbb{y}}^{\prime }}$，点 $P$ 在此斜坐标系中的坐标为 $(x_0^{\prime },y_0^{\prime })$，那么有 $\overrightarrow{OP}=x_0^{\prime }{r}_x{\mathbb{e}}_{{\mathbb{x}}^{\prime }}+y_o^{\prime }{r}_y{\mathbb{e}}_{{\mathbb{y}}^{\prime }}$。

　　 也就是说，斜坐标可以看成是以 $r_x{\mathbb{e}}_{{\mathbb{x}}^{\prime }}$ 和 $r_y{\mathbb{e}}_{{\mathbb{y}}^{\prime }}$ 作为基底来表达的 $\overrightarrow{OP}$ 的分量。

1. ^ 也可以利用对称性，将上式中一切 $x$ 和 $y$ 对换得到。